Let $(Omega, {mathcal S}, mu)$ be a probabilistic measure space, $arepsilon in R$, $delta geq 0$, $p>0$ be given numbers and let $P subset R$ be an open interval. We consider a class of functions $f: P ightarrow R$, satisfying the inequality $$f(EX) leq E(f circ X)+arepsilon E(|X-EX|^p)+delta$$ for each ${mathcal S}$-measurable simple function $X: Omega ightarrow P$. We show that if additionally the set of values of $mu$ is equal to $[0,1]$ then $f: P ightarrow R$ satisfies the above condition if and only if $$f(tx+(1-t)y) leq tf(x)+(1-t)f(y)+arepsilon left[(1-t)^p t+t^p (1-t)ight] |x-y|^p +delta$$ for $x,y in P$, $t in [0,1]$. We also prove some basic properties of such functions, e.g. the existence of subdifferentials, Hermite-Hadamard inequality.
展开▼
机译：设$（ Omega，{ mathcal S}， mu）$为一个概率度量空间，给$ varepsilon in R $，$ delta geq 0 $，$ p> 0 $赋予数字，并让$ P subset R $是一个开放间隔。我们考虑一类函数$ f：P rightarrow R $，满足不等式$$ f（EX） leq E（f circ X）+ varepsilon E（| X-EX | ^ p）+ delta每个$ { mathcal S} $可测量的简单函数$ X的$$： Omega rightarrow P $。我们证明，如果$ mu $的值集等于$ [0,1] $，则$ f：P rightarrow R $满足上述条件，当且仅当$$ f（tx +（1- t）y） leq tf（x）+（1-t）f（y）+ varepsilon left [（1-t）^ p t + t ^ p（1-t） right] | xy | ^ p + delta $$表示$ x，y in P $，$ t in [0,1] $。我们还证明了此类功能的一些基本属性，例如存在亚微分，Hermite-Hadamard不等式。
展开▼
