Magnetic quantization over Riemannian manifolds

摘要

We demonstrate that Weyl's pioneering idea (1918) to intertwine metric and magnetic fields into a single joint connection can be naturally realized, on the phase space level, by the gauge-invariant quantization of the cotangent bundle with magnetic symplectic form. Quantization, for systems over a noncompact Riemannian configuration manifold, may be achieved by the introduction of a magneto-metric analog of the Stratonovich quantizer — a family of invertible, selfadjoint operators representing quantum δ functions. Based on the quantizer, we construct a generalized Wigner transform that maps Hilbert-Schmidt operators into L2 phase-space functions. The algebraic properties of the quantizer allow one to extract a family of symplectic reflections, which are then used to (i) derive a simple, explicit, and geometrically invariant formula for the noncommutative product of functions on phase space, and (ii) construct a magneto-metric connection on phase space. The classical limit of this product is given by the usual multiplication of functions (zeroth-order term), the magnetic Poisson bracket (first-order term), and by the magneto-metric connection (second-order term).PACS Nos.: 02.40.-k, 11.10.NxNous démontrons que l'idée pionnière de Weyl (1918) de mêler métrique et champ magnétique en une seule connexion peut se réaliser naturellement dans l'espace de phase, par une quantification invariante de jauge du fibré cotangent avec la forme magnétique symplectique. Il est possible de réaliser la quantification pour des systèmes sur une variété de configuration Riemannienne non-compacte par l'introduction d'un analogue magnéto-métrique du générateur de quantification de Stratonovich (une famille d'opérateurs self-adjoints réversibles représentant les fonctions δ quantiques). Nous basant sur ce générateur de quantification, nous construisons une transformation généralisée de Wigner qui projette les opérateurs de Hilbert-Schmidt sur des fonctions L2 de l'espace de phase. Les propriétés algébriques du générateur de quantification nous permettent d'extraire une famille de réflections symplectiques que nous utilisons pour : (i) obtenir une formule simple, explicite et géométrique pour le produit non-commutatif de fonctions dans l'espace de phase et (ii) construire une connexion magnéto-métrique sur l'espace de phase. La limite classique de ce produit est donnée par l'habituel multiplication de fonctions (terme d'ordre zéro), le crochet de Poisson magnétique (terme du 1er ordre) et par la connexion magnéto-métrique (terme du 2ieme ordre).[Traduit par la Rédaction]