Trialität, Teridentität, Tetradizität

摘要

Eine Algebra A ist eine Divisionsalgebra, falls, wenn a, b ∈ A mit ab = 0, dann ist entweder a = 0 oder b = 0 d.h. wenn Links- und Rechtsmultiplikation durch einen Faktor ≠ 0 umkehrbar sind. Eine normierte Divisionsalgebra ist eine Algebra A, welche zugleich ein normierter Vektorraum ist mit ||ab|| = ||a|| ||b||. Es gibt genau vier normierte Divisionsalgebren: R, C, H und O. Während R und C sowohl kommutativ als auch assoziativ sind, ist H nicht-kommutativ, und O ist nicht-kommutativ und nicht-assoziativ. Daß eine Algebra assoziativ ist, bedeutet, daß die durch beliebige drei Elemente von A erzeugte Subalgebra assoziativ ist; daß sie alternativ ist, bedeutet, daß die durch beliebige zwei Elemente erzeugte Subalgebra assoziativ ist.%The present paper starts with the proof, that the field of mathematical semiotics is isomorphic to each of the four division algebras, i.e. the real and complex numbers, the quaternions and the octonions. The physico-mathemati-cal concept of triality and the semiotical concept of teridentity are introduced. Is is shown, that teridentity presupposes a tetradic (and not a triadic) sign model, that can be re-interpreted by aid of Guenthers theory of reflective categories and its associated founding relations. As a result, both Dynkin and Feynman diagrams representing the triality of Spin(8), that gives the octonions, can be rewritten in the form of a combined Peirce-Guentherian graph model, that is not only capable of dealing with matter and energy/force, but with information as well. The resulting physico-mathematical-semiotical graph model is a polycontextural one that includes both quantitative and qualitative description of the structure of the universe.