Zeta functions of Jordan algebras representations

摘要

Ce travail porte sur une généralisation de la fonction zêta de Kœcher . Soient V une algèbre de Jordan simple euclidienne de dimension n et de rang m, E un espace euclidien de dimension N, φ une représentation auto-adjointe régulière de V dans E, Q la forme quadratique vectorielle associée à φ, Ω le cône symétrique associé à V, et G(Ω) son groupe d''automorphismes G(Ω) = {g ∈GL(V)|g(Ω) = Ω}. (H_1) On suppose que V et E admettent des Q-structures V_Q et E_Q respectivement et φ est définie sur Q. Soit L un réseau dans E_Q. La série zêta associée à φ et L est définie par ζ_L(s) = ∑_(l∈Γ_oL′)[det(Q(l))]~(-s), any s ∈C où L′ = {l ∈ L|det(Q(l)) ≠ 0}, Γ_o est un certain sous-groupe arithmétique de GL(E). (H_2) On suppose que V_Q est déployée, i.e. son rang est égal à son rang primitif. Les résultats fondamentaux sont: 1. Sous les hypothèses (H_1) et (H_2) et à. l''aide de la théorie de la réduction de Borel (ensembles de Siegel), on montre que la série zêta ζ_L(s) converge absolument pour Re(s) > N/(2m). 2. ζ_L admet un prolongement analytique en tant que fonction méromorphe sur tout le plan C et vérifie une équation fonctionnelle similaire à celle de la fonction zêta de Riemann.%This work is about a generalization of Koecher's zeta function. Let V be an Euclidean simple Jordan algebra of dimension n and rank m, E an Euclidean space of dimension N, φ a regular self-adjoint representation of V in E, Q the quadratic form associated to φ, Ω the symmetric cone associated to V and G(Ω) its automorphism group G(Ω) = {g ∈GL(V)|g(Ω) = Ω}. (H_1) Assume that V and E have Q-structures V_Q and E_Q respectively and φ is defined over Q. Let L be a lattice in E_Q. The zeta series associated to φ and L is defined by ζ_L(s) = ∑_(l∈Γ_oL′)[det(Q(l))]~(-s), any s ∈C where L′ = {l ∈ L|det(Q(l)) ≠ 0}, Γ_o is some arithmetic subgroup of GL(E). (H_2) Assume that V_Q is split, which means that its rank equals its primitive rank. The fundamental results are: 1. Under the assumptions (H_1) and (H_2) and using reduction theory (Siegel sets), we show that the zeta series ζ_L(s) converges absolutely for Re (s) > N/(2m). 2. ζ_L admits an analytic continuation as a meromorphic function on the whole plane C and satisfies to a functional equation similar to that of Riemann's zeta function.