Axiome du cube et foncteurs de Quillen

摘要

The two definitions of the Lusternik and Schnirelmann category, due to Whitehead and Ganea, conceptually differ from each other. The first author showed that they exist within Quillen's model categories, and coincide when a further non autodual axiom is assumed, namely the cube axiom. Here we extend this study within model categories which are not necessarily proper and do not satisfy the cube axiom. For this, the global hypothesis of this axiom is transformed into a condition on a class of morphisms, namely the cube maps. We then study the image of cube maps by a Quillen's couple of adjoint functors. We finally consider the example of the chain of functors appearing in rational homotopy.%Les approches de Whitehead et de Ganea, conceptuellement différentes, permettent toutes deux la définition de la catégorie de Lusternik et Schnirelmann. Le premier auteur a montré qu'elles existent dans le cadre des catégories à modèles de Quillen et qu'elles coïncident lorsqu'est vérifi é un axiome supplémentaire non autodual, l'axiome du cube. Nous étendons ici cette étude au cadre de catégories à modèles non nécessairement propres et ne vérifiant pas l'axiome du cube. Pour cela, l'hypothèse globale est transformée en une condition sur une famille de morphismes : les flèches du cube. Nous étudions ensuite l'image des flèches du cube par un couple de foncteurs adjoints de Quillen et illustrons cette présentation par la chaîne de foncteurs apparaissant en homotopie rationnelle.