On the K-theory and Hattori-Stallings traces of minimal primitive factors of enveloping algebras of semisimple Lie algebras : the singular case

摘要

Let G be a semisimple complex algebraic group and X its flag variety. Let g = Lie(G) and let U be its enveloping algebra. Let η be a Cartan subalgebra of g. For μ ∈ η~*, let J_μ be the corresponding minimal primitive ideal, let U_μ = U/J_μ, and let T_(U_μ): K_0(U_(mu)) → C be the Hattori-Stallings trace. Results of Hodges suggest to study this map as a step towards a classification, up to isomorphism or Morita equivalence, of the C-algebras U_μ. When μ is regular, Hodges has shown that K_0(U_μ) ≈ K_0(X). In this case K_0(U_μ) is generated by the classes corresponding to G-linearized line bundles on X, and the value of T_(U_μ) on these generators was computed by Hodges and Holland, in a special case, and then by Perets and the author, in general. This result is extended here to the singular case.%Soient G un groupe algébrique semi-simple complexe, g = Lie(G), U l'algèbre enveloppante de g, et X la variété des drapeaux de G. Soit η une sous-algèbre de Cartan de g. Pour μ ∈ η~*, soit J_μ l'idéal primitif minimal correspondant, soit U_μ = U/J_μ, et T_(U_μ): K_0(U_μ) → C la trace de Hattori-Stallings. Des résultats de Hodges suggèrent d'étudier cette application en vue de classifier les C- algèbres U_μ à isomorphisme ou équivalence de Morita près. Pour μ ré gulier, Hodges a montré que K_0(U_μ) ≈ K_0(X). Dans ce cas, K_0(U_ μ) est engendré par les classes correspondant aux fibres en droites G-linéarisés sur X, et la valeur de T_(U_μ) sur ces générateurs a été calculée par Hodges et Holland, dans un cas particulier, puis par Perets et l'auteur en général. Nous étendons ici ce r ésultat au cas singulier.