对一个定义的探讨

摘要

关于周期函数,中学课本中已有明确定义,这里不再赘述。而贵刊1994年第9期P.37页刊登的《周期函数》中,是这样定义周期函数的:“对于函数f(x),如果存在一个不为零的常数T,且 (1)对于函数定义域中自变量x的任意值,x+T和x-T都属于函数的定义域; (2)对于函数定义域中的任意x,都有f(x+T)=f(x)或f(x-T)=f(x),则称函数f(x)是以T为周期的周期函数。 笔者认为,这个定义存在两个问题,一是条件(1)是多余的,不符合对一个概念下定义的原则。因为由(2)f(x+T)=f(x)或f(x-T)=f(x)可知x+T或x-T应属于定义域,否则其函数值谈不上相等。二是在(1)中说“x+T和x-T都属于这个函数的定义域”,这又增加了限制条件,从而缩小了概念的外延。实际上x+T和x-T不要求都属于这个函数的定义域,x+T和x-T中有一个属于定义域即可。如,对于函数f(x)