关于Bolzano—Weiertrass定理及任意度量空间R内集M完全有界的必要充分条件

摘要

＜正＞ 在任意有限 n 维完备的度量空间 Rn 中,Bolzano-Weiertrass 定理（以下简称 B-W定理）成立:凡有界无限集 M 至少有一个极限点（但此点不一起属于 M）。这表明 Rn中,无限集的有界性是使此集至少含有一个基本（收敛）点列的充分条件。对于有限 n 维空间来说,集的有界与完全有界性是一致的;又不论空间的维数有限或无限,集的完全有界与列紧性是等价的。所以在 Rn 中,集的有界性,就足以使其具有列紧的结构。故在 Rn 中B-W 定理成立。而在无限维完备度量空间 D 中,由集 M 的完全有界可推得 M 有界。但其