拟序的所有完备扩展的交集是原本的拟序——基于直接构造的新方法

摘要

二元序对是抽象代数的基础,其中拟序关系是最基本的一种,偏序是具有反对称性的拟序。根据Sziplrajn定理,任何偏序都可以完备化,同理可证任何拟序都可以完备化,这就产生一个问题:拟序完备化的结果可能不唯一,然而一个有趣的结论是,拟序的所有完备化的交集等于原来的拟序关系。对于这一命题,已有的文献采用序关系的集合论表达方式进行证明,显得不直观,并且使读者无法知道其构造集合的逻辑直觉。因此采用直接构造法,将序关系理解为笛卡尔集的子集,根据两种相反的完备化方式相互“抵消”的直观想法完成证明。该方法相比现有的研究更加直观,更容易揭示序关系在二元关系集上的具体结构。