有限域上置换多项式的几种构造

摘要

置换多项式在代数学、组合学、数论、编码理论、密码学等领域中均有广泛而又重要的应用.近年来,置换多项式的研究取得一系列进展,研究者先后提出Akbary-Ghioca-Wang法则、分段构造法、交换构造法等方法来构造和证明置换.有限域上的置换多项式因其简单的代数形式和优良的密码性质,在密码算法设计中备受关注.在特征为2的偶次扩域上寻求同时具有低差分均匀度、高非线性度、高代数次数等密码性质的代数形式简单的置换成为学者们研究的热点.本文介绍了置换多项式的相关应用和研究背景,给出了一些基本概念和预备知识.研究了有限域Fpn上形如x(pn?1)/d+1+ax的二项式的置换属性,给出了该二项式是置换的充要条件.在此基础上,构造出四类二项式置换,并利用Dickson多项式和线性多项式理论予以证明.列举了上述二项式置换在特征为2和3的有限域上的相关实例,并由此得到一些完全置换单项式.根据迹函数的性质,通过引入新的参数构造出两类具有特定指数的多项式置换,上述多项式置换推广了一个已知的结果.