关于平衡非Wieferich素数的一个注记

摘要

cqvip:令Bn是第n个平衡数。最近,Routh证明了在数域Q[√2]的abc猜想成立的前提下,对于任意正整数k>2和n>1,有>>logx/loglogx的素数p满足p≡1(mod k)和Bp-(8/p)■0(mod p^2),其中(·/p)表示Jacobi符号。对于任意给定的正数M,Dutta,Pate和Ray将下界改进到(logx/loglogx)(logloglogx)^M。但是,我们发现他们的证明中有一些漏洞。尽管我们现在没能弥补这些漏洞,但在去掉mod k的限制条件下,我们将下界进一步改进到logx,即在数域Q[√2]的abc猜想成立的前提下有>>logx的素数p满足Bp-(8/p)■0(mod p^2)。