用导数法证明不等式

摘要

不等式是高中数学教学的重点和难点,又是继续深造的重要基础,所以不等式一直都是高考命题的热点,常考常新,创意不断.在新课程的高考卷中,应用导数研究函数的性质,应用函数的单调性证明不等式,体现出新的综合热点,充分发挥导数的工具作用.1单变量不等式例1设b>1,求证:1+2b21,f'(x)<0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递减,且f(x)在[1,+∞)上连续,f(1)=0,从而①式得证.②欲证:1+2b21),只需证2(b?1)<(1+b2)ln b<0,②设g(x)=2(x?1)?(1+x2)lnx,(x≥1)∵g'(x)=?2x ln x?(x?1)2/x,当x>1时,g'(x)<0.∴g(x)在(1,+∞)上单调递减.又g(x)在[1,+∞]上连续,g(1)=0,∴当x>1时,g(x)<0,即2(x?1)<(1+x2)lnx,∴②式成立.由①和②知原命题为真.例2已知:函数f(x)=x2/2+ln x,g(x)...