近冰梅——类域论

摘要

类域论(Class Field Theory)是数学诸理论中,体系最完美的一种——《数学百科全书》如是说。她是现代数论的一门极重要理论,现在已渗透应用到各分枝,几乎无处不涉及。此理论由希尔波特(Hilbert)在1900年左右猜测出,主要由福特汪格勒(Furtwangler),高木贞治(Takagi),阿廷(Artin)至1927年给出证明。但象“类域构作”这样的世纪性大问题,研究还远无尽头,是现代最激烈前沿之一。类域论理论系统深邃,定理异常丰富,初学者短期内不易掌握。我们尝试以诗歌概括其主要定理体系,这样便于学者掌握运用此理论,充分欣赏此理论。 数域k的阿贝尔扩域集{K}是一个格,它象是枝干交错的一株梅树。k的伊代尔(或理想)类群J的闭子群格{H}是此树的倒影,二者反向1:1对应,这倒影对应就是阿廷互反律映射,它将伊代尔或理想映为伽罗华群中元(Frobenius)。——此即类域论基本定理。由此以诗表类域论如下。