局部Jarník-Besicovitch定理的一个简单证明

摘要

任意的无理数x,其无理指数δx∶=sup{δ≥0∶|x-pq-1|≤q-2δi.o.pq-1}衡量x可以被有理数逼近的程度.经典的Jarník-Besicovitch定理表明,对于任意的δ≥1,集合{x∈R∶δx≥δ}的Hausdorff维数为δ-1.Barral和Seuret[1]考虑该定理的局部化问题,证明对于任意的连续函数f∶R→[1,+∞),集合{x∈R∶δx≥f(x)}的Hausdorff维数为(inf{f(x)∶x∈R})-1.本文从经典的Jarník-Besicovitch定理出发,利用连分数的理论给出局部Jarník-Besicovitch定理一个简短的证明.