基于POD方法的Sobolev方程和粘弹性方程数值解的外推算法

摘要

该篇文章主要提出了Sobolev方程和粘弹性方程基于特征正交分解方法(proper orthogonal decomposition method简称POD方法)的降阶外推差分算法。为了避免Sobolev方程和粘弹性方程的有限差分格式计算量过大的缺点，本文运用奇异值分解和特征正交分解方法对Sobolev方程的经典差分显式格式和C-N差分格式以及粘弹性方程的经典有限差分格式和C-N差分格式进行了降阶处理，并建立新的外推差分格式。该外推差分算法只需要很少的初始数据值，就可以组建POD基来建立一种自由度比较少的降阶外推有限差分格式，进而节省计算机的CPU和运行内存，同时进行降阶处理后所得到外推有限差分格式能很好的减少截断误差的累加，从而使所求解的数值解更为有效。
　　本文采取的是循序渐进的策略，先是探讨Sobolev方程的经典差分显式格式以及相应的降阶外推有限差分格式，这两种格式是条件稳定的，时间是一阶精度的，进一步介绍了C-N差分格式以及相应的降阶外推有限差分格式，这两种的格式是隐式差分格式，同时还是无条件稳定的并且具有全二阶精度;本文的另外一个重要的工作是对粘弹性方程的有限差分格式以及相应的降阶外推有限差分格式的研究，由于粘弹性方程关于时间是二阶导数，这是与Sobolev方程不同的，比Sobolev方程更复杂，但更有用。本文我们给出Sobole方程和粘弹性方程的各个降阶外推有限差分格式的误差估计，并给出了该外推算法的算法实现过程，最后用算例验证我们这些方法的正确性和有效性。充分的表明了降阶外推算法具有不可小觑的应用价值和不可估量的潜力。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 课题背景及研究的目的和意义

1．2 研究现状

第2章 Sobolev方程经典差分显式格式的降阶外推算法

2．1 引言

2．2 经典差分显式格式

2．3 构造POD基

2．4 构造降阶外推差分格式

2．5 降阶外推差分格式的误差估计以及算法实现

2．5．1 降阶外推差分格式的误差估计

2．5．2 降阶外推算法实现的运算步骤

2．6 数值算例

2．7 本章小结

第3章 Sobolev方程的C-N差分隐式格式的降阶外推算舁法

3．1 引言

3．2 全二阶C-N有限差分格式

3．3 构造POD基

3．4 降阶外推算法格式以及误差分析

3．4．1 降阶外推算法格式

3．4．2 降阶外推差分格式的误差估计

3．5 降阶外推算法实现的运算步骤

3．6 数值算例

3．7 本章小结

第4章 粘弹性方程的经典差分显式格式的降阶外推算异法

4．1 引言

4．2 经典向前差分格式

4．3 构造POD基

4．4 降阶外推差分格式

4．5 降阶外推算法的误差分析

4．6 降阶外推算法的实现过程

4．7 数值算例

4．8 本章小结

第5章 粘弹性方程的C-N差分隐式格式的降阶外推算法

5．1 引言

5．2 粘弹性方程的C-N差分格式

5．3 构造POD基

5．4 降阶外推差分格式

5．5 基于POD方法的降阶外推算法的误差分析

5．6 降阶外推算法的实现过程

5．7 数值算例

5．8 本章小结

第6章 结论与展望

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文及其它成果

致谢