二阶抛物型偏微分方程及位移障碍变分不等式问题的有限元分析

摘要

本论文主要研究两类二阶发展型偏微分方程及位移障碍变分不等式问题的有限元方法，并在不同条件下探讨其收敛性和超收敛性。
　　首先，讨论了一类抛物型积分微分方程的双线性元逼近。利用插值与投影相结合新的技巧和插值后处理方法，在降低对解的正则性要求下，得到了H1模意义下的O(h2)阶超逼近与超收敛结果，这是以往文献单独使用投影算子或插值算子无法得到的。另外，我们还对不同的处理方法及结果进行了比较。
　　其次，将著名的低阶非协调EQrot1元应用于一类反应扩散方程。一方面，利用Lyopunov泛函证明了半离散格式逼近解的一个先验估计。同时，借助EQrot1元所具有的两个特殊性质:(i)当精确解属于H3(Ω)时，其相容误差可以达到O(h2)阶，正好比插值误差O（h）高一阶。(ii)插值算子与投影算子等价，在有限元解uh不需要属于L∞(Ω)的传统假设下，导出了H1模意义下O(h2)阶的超逼近性质。另一方面，建立了一个新的线性化向后Euler和线性化Crank-Nicolson全离散格式。通过对相容误差采用新的分裂技巧，对这两种格式分别导出了H1模意义下具有O（h2+τ）和O(h2+τ2)阶的超逼近性质。进一步地，借助插值后处理技术，得到了相应的超收敛结果。另外，我们给出了一个数值算例，验证了理论分析的正确性。
　　最后，研究了具有位移障碍的二阶变分不等式问题的低阶非协调带约束的旋转Q1元（CNQrot1元）的收敛性和EQrot1元的超收敛性。一方面，在四边形网格下，对CNQrot1元证明了一个有用的引理(见引理4.1)，并由此给出了收敛性分析，得到了H1模意义下的最优误差估计。另一方面，在矩形网格下，对EQrot1元，通过一些更精细的估计和分析，得到了H1模意义下的超收敛结果。同时，用数值算例验证了理论分析的正确性。特别需要强调的是:这一超收敛结果在以往文献中从未报道过。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 研究背景及现状

1．2 预备知识

1．2．1 常用的Sobolev空间及一些不等式

1．2．1 有限元方法的基本理论

1．3 本文的研究思路和组织结构

第2章 抛物型积分微分方程双线性有限元方法的新估计

2．1 双线性元的构造及逼近问题

2．2 超逼近及超收敛分析

2．3 方法与结论的比较

2．4 本章小结

第3章 反应扩散方程的低阶EQrot1非协调元的超收敛分析

3．1 非协调EQrot1元的构造及问题的逼近

3．2 半离散格式及其超逼近分析

3．3 线性化的向后Euler全离散格式及其超逼近分析

3．4 线性化的Crank-Nicolson格式及其超逼近分析

3．5 超收敛分析

3．6 数值试验

3．7 本章小结

第4章 位移障碍变分不等式问题的低阶非协调元方法

4．1．1 变分不等式问题和非协调CNQrot1元的构造

4．1．2 收敛性分析和最优误差估计

4．1．3 数值实验

4．2 位移障碍变分不等式问题的非协调EQrot1元的超收敛性研究

4．2．1 超收敛分析

4．2．2 数值实验

4．3 本章小结

5．1 本学位论文的总结

5．2 本学位论文的展望

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文及其它成果

攻读硕士学位期间参加的科研工作

致谢