若干非线性发展方程孤子解分解和相互作用研究

摘要

孤(立)子在很多非线性现象中广泛存在，在现代科学技术的发展中有着重要的应用。孤子理论—非线性偏微分方程(非线性的PDEs)的理论——于40多年前开始发展，今天这个理论研究不但更加深入，而且在物理和工程科学应用的推动下仍然在快速地发展。孤子现象在两个条件下存在：第一，在没有任何外部阻碍的情况下，存在具有持续结构(形状、速度等)传播的稳定的孤立波。第二，如果一个孤立波遇到另一个同类的立孤波，它们相互作用，但不会破坏相互的特性(即所谓的弹性作用)。这样的孤波定义为孤(立)子。孤子现象本质上是非线性现象。本文主要目的是研究用Hirota双线性方法求非线性发展方程的孤子解以及孤子的性质、分解和相互作用的探讨，以便更好地利用孤子。
　　 通常在应用数学中，将孤立子理解为非线性发展方程局部化的行波解，经过互相碰撞后，不改变波形和速度(或许相位发生变化)。而在物理学领域，孤立子被理解为经相互作用后，波形和速度只有微弱改变的孤立波，或者被理解为非线性发展方程能量有限的解，即能量集中在空间有限区域，不随时间的增加而扩散到无限区域中去。
　　 非线性发展方程孤子解的应用十分广泛，尤其是在非线性光纤光孤子通信中的应用在近年来得到广泛的研究。因此，研究非线性发展方程孤子解的求法以及孤子的性质、分解和相互作用显得尤为必要，也有实际应用价值。
　　 本文以非线性发展(演化)方程的理论为基础，结合正在快速发展的孤子理论，利用数学软件，研究了非线性发展方程的一类解—孤子解。主要完成了以下工作：首先分析总结了孤子的类型以及多孤子、孤子的无穷多守恒律，通过对这些孤子基本知识的分析了解可以更好地研究孤子及其性质；其次研究了Hirota双线性方法求非线性发展方程的孤子解并以Boussinesq方程和(3+1)维KP方程为例讨论Hirota双线性方法在求非线性发展方程孤子解的具体应用，同时给出了一种简单Hirota方法及其应用；在求得单孤子解和双孤子解后，研究了孤子解的一种分解方法和孤子的相互作用，并通过图形给出了孤子相互作用的两种情形，比较了孤子的两种不同作用过程。我们希望通过这些研究进一步了解求解非线性发展方程的孤子解、孤子的性质和应用。

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第一章 绪论

1.1非线性科学与非线性发展方程

1.2孤立波与孤立子

1.3孤立子理论

1.4主要内容和结构安排

第二章 孤立子的类型

2.1 KdV方程及钟型孤立子

2.2 Sine-Gordon方程、纽结孤子和呼吸子

2.3 NLS方程及包络孤立子

2.3.1 非线性光学效应与NLS方程

2.3.2 亮孤子解

2.3.3 暗孤子解

2.4孤子方程的无穷多守恒律

第三章Hirota双线性方法及应用

3.1 Hirota双线性算子及主要性质

3.1.1 Hirota双线性算子

3.1.2 双线性算子主要性质

3.2 Hirota双线性方法在Boussinesq方程中的应用

3.2.1 Bq方程的Hirota双线性形式

3.2.2 Hirota方法求Bq方程的孤子解

3.3 Hirota双线性方法在KP方程中的应用

3.3.1 KP方程的Hirota双线性形式

3.3.2 Hirota方法求KP方程的孤子解

3.4简单Hirota方法及应用

第四章孤子解分解及相互作用

4.1孤子解的分解

4.2孤子的相互作用

4.2.1(3+1)维KP方程孤子解的相互作用

4.2.2 Bq方程孤子解的相互作用

结束语

参考文献

致谢