非线性偏微分方程的Painlevé性质及其精确解的推导

摘要

本硕士论文以偏微分方程理论为基础，借助于计算机符号计算系统Maple，研究了变系数KP方程的Painlevé检验和HBK系统的首次积分解法等问题，并取得了一些新颖而又有意义的成果。 随着科学技术的迅猛发展，非线性科学在自然科学的各个领域内得到了广泛的应用，取得了一系列可喜的成果。由于非线性问题常常用非线性偏微分方程来描述，这使得非线性偏微分方程越来越与其它学科密切相连，因而非线性偏微分方程的求解和对其解的性质的研究成为了理论和实践中一个备受关注的研究课题。 求出非线性偏微分方程的精确解是讨论非线性偏微分方程问题的首要任务。但由于非线性偏微分方程本身的复杂性，至今仍没有求解这类方程的统一的有效解法。虽然已经求出很多非线性偏微分方程的精确解，但是求解方法也是各有技巧，有大量的偏微分方程无法求出精确解。因此为了给数值计算等方法提供理论依据，讨论非线性偏微分方程的解可能具有的性质，在不求解方程的情况下，直接研究偏微分方程解的特性也成为人们研究偏微分方程问题的一个有效途径。 一般来说，如果一个偏微分方程可以用反演散射法求解，则称它是完全可积的。完全可积的非线性偏微分方程往往具有Painlevé性质、B(a)cklund变换、Darboux变换、Lax对等一些非常好的特性。然而却没有一个系统的方法来确定一个微分方程是否可以用反演散射法求解。1983年，Weiss、Tabor和Carnevale提出的WTC算法给出了检验一个偏微分方程(组)是否完全可积的一个必要条件-检验一个方程(组)是否具有Painlevé性质。如果一个方程(组)通过Painlevé检验，具有Painlevé性质，则它满足完全可积的必要条件；如果这个方程或方程组不能通过Painlevé检验，不具有Painlevé性质，则可以断定这个方程(组)不是完全可积的。 已经发现并取得相当成果的求解偏微分方程精确解的方法有：齐次平衡法、Tanh函数法、B(a)cklund变换法、反演散射方法、达布(Darboux)变换法、Hirota双线性方法、相似约化法等。其中在2002年，由冯兆生在研究Burgers-KdV方程的精确解时提出的首次积分法，是基于除法定理和Hilbert零点定理的一种求方程精确解的有效方法。基于上述理论和方法本文完成了以下三个方面的工作：一、应用WTC算法对变系数KP方程作了Painlevé分析，得到了变系数组合KP方程在满足一定约束条件的情况下具有Painlevé性质的结论，同时也得到了这个方程的自B(a)cklund变换。二、应用首次积分法求解了HBK系统，得到了一些新的精确解。三、应用tanh法求解了Ginzburg-Landau方程和Noyes-Field方程组，得到了一些新的精确解。以上述第二部分内容为基础的学术论文《HBK系统的精确解》已发表在《中国科学技术学报》2006年第5期上。

目录

声明

摘要

第一章绪论

1.1非线性方程的发展概述

1.2孤立子理论产生的历史背景及其发展状况

1.3本文主要工作和结构安排

第二章非线性偏微分方程的求解方法综述

2.1引言

2.2反散射方法

2.3 B(a)cklund变换和Darboux变换

2.4基于符号计算的一种统一的代数方法

2.5 Painlevé检验

2.6双线性方法、齐次平衡法

2.7行波法

2.8相似约化法

2.8.1经典无穷小变换法

2.8.2非经典无穷小变换法

2.8.3 CK直接法

第三章Painlevé检测与WTC方法及其应用

3.1引言

3.2 Painlevé奇性分析原理

3.3 WTC方法的过程

3.3 B(a)cklund变换

3.4几个非线性偏微分方程的Painlevé分析和B(a)cklund变换

3.4.1 KdV方程

3.4.2方程组的Painlevé分析(Classical Boussinesq方程组)

3.5变系数KP方程的Painlevé分析

3.6总结

第四章首次积分法及其应用

4.1引言

4.2首次积分法的相关概念及步骤

4.3用首次积分方法求解(2+1)维HBK系统

4.4总结

第五章 Tanh函数法及其应用

5.1引言

5.2 tanh函数法的基本思想和步骤

5.3用tanh法求解若干方程

5.3.1 Burgers-KdV方程

5.3.2利用tanh法解一类反应扩散方程

5.3.3利用tanh法解Noyes-Field方程组

5.4复tanh函数法以及Schr(o)dinger方程的解

5.4.1非线性Schr(o)dinger方程

5.4.2 Ginzburg-Landau方程

5.5总结

第六章总结与展望

参考文献

硕士期间录用的论文

致谢