基于符号计算的光纤通信等若干领域中变系数非线性模型的研究

摘要

非线性模型在当前许多科学和工程领域的理论研究中具有非常重要的意义.它们可以用于描述光纤通信、流体力学、固体力学和等离子体物理等领域中的非线性现象.通过研究非线性模型的解析解及可积性质，我们可以更加深入地了解非线性模型所反映的相关动力机制的本质特征.近来，考虑传播介质的不均匀性与边界的不一致性等因素，变系数非线性模型被认为比常系数模型能够更实际地描述各种各样的非线性机制.计算机符号计算具有易于操作和实现的特点，能够精确地处理繁复冗长的表达式及微积分运算.符号计算软件强大的数学计算功能及绘图功能可以帮助我们处理变系数非线性模型解及相关性质的解析及可观测性研究，为变系数非线性模型的研究工作提供功能强大的辅助工具。 本文主要借助符号计算将某些适用于研究常系数非线性模型的解析方法进行推广并应用于光纤通信等领域中的若干变系数非线性模型.利用推广的Painleve分析、双线性方法、AKNS方法、Wronskian技巧及Pfaffian方法解析地研究了广义变系数高阶nonlinearSchrodinger(HNLS)方程、变系数(3+1)维Kadomstev-Petviashvili(KP)方程、变系数sine-Gordon(SG)方程、非均匀Ⅳ耦合NLS方程及变系数KP方程的解及可积性质.这些变系数非线性模型在物理学和工程技术领域的不同分支中都有着广泛的应用，如光纤通信、等离子体、超导体、流体力学和非线性晶格等，特别是可用于描述带有非均匀边界条件或非均匀介质的物理背景中的各种非线性动力学机制。 本文的主要工作如下： (I)基于符号计算变系数非线性模型Painleve性质的判定.Painleve分析为判定非线性模型是否完全可积提供了必要条件.借助符号计算，本文对变系数(3+1)维KP方程及变系数SG方程进行了Painleve分析。经检测发现变系数(3+1)维KP不具有Painleve性质，而变系数SG方程是Painleve可积的。 (II)借助符号计算将双线性方法推广并应用于求解变系数非线性模型的各类精确解析解.本文利用截断的Painleve展开式或在因变量变换中引入任意参数后修正的因变量变换，将变系数非线性模型双线性化并利用参数展开技巧得到变系数非线性模型的孤子型解.主要结果如下：(1)求得广义变系数HNLS方程的明多孤子型解，并分析参数对孤子性质的影响；(2)将广义变系数HNLS方程转化为相应的常系数HNLS方程，借助双线性方法求得广义变系数HNLS方程的暗孤子型解.然后利用符号计算及数值算法研究暗孤子型解的稳定性及传输特性；(3)求得非均匀Ⅳ耦合NLS方程的显式孤子型解并研究孤子传播的性质；(4)求得变系数SG方程的多扭结孤子型解，并分析参数对解的性质的影响。 (III)基于符号计算变系数非线性模型的可积性质如Backlund变换及无穷多守恒律.本文利用两种不同的方法研究了变系数非线性模型的可积性质如Backlund变换.利用变系数非线性模型的双线性形式，通过构造不同的形式Backlund变换，本文得到广义变系数HNLS方程、变系数SG方程及非均匀Ⅳ耦合NLS方程的双线性Backlund变换.借助变系数非线性模型对应的AKNS系统，求得了非均匀N耦合NLS方程及变系数SG方程r函数形式的Backlund变换.此外，利用AKNS系统的Γ-Riccati形式求得了广义变系数HNLS方程、非均匀N耦合NLS方程及变系数SG方程的无穷多守恒律。 (IV)将Wronskian技巧推广并应用于求解变系数非线性模型行列式形式的多孤子型解.构造非线性模型的Wronski行列式解的难点之一就是Wronski行列式元素所满足的性质.本文从三个不同的思路出发，利用Wronskian技巧研究了变系数非线性模型Wronski行列式形式的多孤子型解，并借助符号计算软件对解进行了分析：(1)利用平衡的思想构造了变系数(3+1)维KP方程的Wronski行列式解，并通过直接代入到双线性方程中对解进行验证；(2)利用Backlund变换构造Wronski行列式元素所满足的性质，求得变系数SG方程的Wronski行列式解；(3)借助AKNS系统构造双Wronski行列式元素所满足的性质，求得广义变系数HNLS方程双Wronski行列式形式的多孤子型解并对解进行分析。 (V)Pfaffian方法的变系数推广及应用.Pfaffian是行列式的进一步推广.借助Pfaffian形式，本文求得变系数(3+1)维KP方程的Gramm行列式解并进行验证.将构造新耦合孤子方程的Pfaffian程序推广并应用于变系数KP方程.本文借助Pfaffian程序的变系数推广构造出变系数KP方程的耦合形式，然后求得变系数耦合KP方程的Wronski和Gramm型Pfaffian解，并借助Pfaffian的性质将解直接代入双线性形式的耦合方程中进行了验证。 本文借助计算机符号计算将Painleve分析、双线性方法、AKNS方法、Wronskian技巧及Pfaffian方法进行了变系数推广并应用于研究光纤通信、流体力学中的若干变系数非线性模型的孤子型解及可积性质.借助于符号计算软件的绘图功能，本文对所得变系数非线性模型孤子型解的性质进行了绘图及分析.本文所用的研究变系数非线性模型的方法有望用于研究其他领域中的各类变系数非线性模型。此外所得光纤通信等领域中各个模型的解析研究结果可望有助于进一步的理论及实验研究。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章 绪论

1.1 引言

1.2计算机符号计算

1.2.1 计算机符号计算的发展概况

1.2.2 Mathematica介绍

1.3孤子理论发展的国内外研究现状

1.3.1孤子理论研究概述

1.3.2孤子理论研究内容

1.3.3孤子理论研究方法

1.4计算机符号计算在孤子理论中的应用

1.5本文的立论背景、研究工作及安排

1.5.1 本文的研究背景

1.5.2本文主要工作

1.5.3本文组织安排

第二章 基于符号计算变系数非线性模型的Painlevé分析

2.1 PainlevéODE检测

2.1.1 Painlevé性质

2.1.2相似约化

2.1.3 Painlevé ODE检测

2.2 Painlevé PDE检测

2.3 Painlevé展开应用

2.4基于符号计算变系数非线性模型的Painlevé分析

2.4.1 变系数(3+1)维KP方程的Painlevé分析

2.4.2变系数SG方程的Painlevé分析

2.5本章小结

第三章 基于符号计算双线性方法的变系数推广与应用

3.1 双线性化的因变量变换

3.1.1 对数变换

3.1.2双对数变换

3.1.3 有理变换

3.1.4其他形式因变量变换

3.2双线性算子性质

3.2.1 双线性算子计算性质

3.2.2双线性算子交换公式

3.3双线性方法的应用

3.3.1孤子解

3.3.2周期解

3.3.3局域解

3.4符号计算在双线性方法中的应用

3.5双线性方法的变系数推广及应用

3.5.1广义变系数HNLS方程的明孤子型解

3.5.2广义变系数HNLS方程的暗孤子型解

3.5.3非均匀N耦合NLS方程的孤子型解

3.5.4变系数SG方程的扭结孤子型解

3.6本章小结

第四章 基于符号计算变系数非线性模型的可积性质

4.1 B(a)cklund变换

4.1.1双线性B(a)cklund变换

4.1.2变系数非线性模型的双线性B(a)cklund变换

4.1.3变系数非线性模型的Γ函数形式B(a)cklund变换

4.2无穷多守恒律

4.2.1 符号计算与无穷多守恒律

4.2.2广义变系数HNLS方程的无穷多守恒律

4.2.3非均匀N耦合NLS方程的无穷多守恒律

4.2.4变系数SG方程的无穷多守恒律

4.3 本章小结

第五章 Wronskian技巧的变系数推广及应用

5.1 Wronski行列式的性质

5.2 Wronskian技巧的变系数推广及应用

5.2.1 变系数(3+1)维KP方程的Wronski行列式解

5.2.2变系数SG方程的Wronski行列式解

5.2.3广义变系数HNLS方程的双Wronski行列式解

5.3本章总结

第六章Pfaffian方法的变系数推广及应用

6.1 Pfaffian的定义及性质

6.1.1 Pfaffian的定义

6.1.2 Pfaffian的性质

6.2常系数KP方挥的Gramm行列式解

6.3 变系数(3+1)维KP方程的Gramm行列式解

6.4 Pfaffian程序的变系数推广及应用

6.4.1 Pfaffian程序

6.4.2 Pfaffian程序构造变系数耦合KP方程

6.4.3变系数耦合KP方程Gramm型Pfaffian解

6.5本章小结

第七章 总结与展望

7.1 总结

7.2 展望

参考文献

致谢

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