对称锥互补问题的互补函数和价值函数研究

摘要

对称锥互补问题(SCCP)是一类内容新、涵盖面宽、理论丰富、且有广泛应用背景的均衡优化问题，包括标准互补问题(NCP)、二阶锥互补问题(SOCCP)和半定互补问题(SDCP)等.本论文主要利用欧几里得若当代数技术，建立了SCCP的几个互补函数和相应的价值函数.在深入研究了它们的性质的基础上，给出了求解SCCP的有效算法. 第一章在描述欧几里得若当代数的基本概念和相关理论的基础上，给出了关于若当基底唯一性的研究结果.其次，从理论和算法两方面综述了对称锥互补问题的研究历史和现状. 第二章我们建立了对称锥互补问题的重要互补函数之一：向量值隐拉格朗日函数，证明了其连续可微和强半光滑性.并且，据我们所知，没有人给出关于SOCCP和SDCP的向量值隐拉格朗日函数，而且这个推广具有重要意义.作为应用，给出了实值隐拉格朗日函数及相应的价值函数，并且给出价值函数的稳定点成为SCCP的解的一个充要条件.在一致CarLesian-P性质下，证明此价值函数可为SCCP提供一个全局误差界.最后，给出了求解SCCP的一个混合牛顿算法. 第三章我们主要感兴趣的是求解SCCP的几种可能的算法中的正则光滑牛顿算法.首先给出Lowner算子的广义雅可比的计算公式.在此基础上，分析了一个自然剩余函数的强半光滑性和雅可比的非奇异性，得到了在单调和严格可行性假设下，SCCP的自然剩余函数和惩罚的自然剩余函数的水平有界性.继而我们构造了SCCP的自然剩余的Chen-Mangasarian光滑函数，这也就提供了在更一般的结构中Chen-Mangasarian光滑函数的一个统一的可计算的公式.同时，研究了其一致逼近性质和(强)雅可比非奇异性.最后，给出了求解SCCP的一个正则光滑化牛顿算法. 第四章给出了SCCP的EP类互补函数，证明了其连续可微性和强半光滑性.其次，研究另一类著名的由Mangasarian在1976年给出的互补函数，从而肯定解答了Tseng在1998年提出的一个公开问题.进一步，我们研究Lowner算子的单调性，分别给出了判别其单调、严格单调和强单调的充分必要条件.

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致谢

第一章绪论

§1.1研究问题的内容和意义

§1.2欧几里得若当代数概述

§1.2.1基本概念和基本定理

§1.2.2若当基底的唯一性条件

§1.2.3几个例子

§1.3对称锥互补问题的研究历史和现状

§1.3.1对称锥互补问题的研究历史

§1.3.2对称锥互补问题的研究现状

§1.4本文主要内容和结构介绍

第二章向量值隐拉格朗日函数

§2.1引言

§2.2向量值隐拉格朗日函数

§2.3实值隐拉格朗日函数

§2.4无约束稳定点

§2.5 Cartesian-P性质及误差界

§2.6混合牛顿算法

§2.7小结

第三章Chen-Mangasarian正则光滑化方法

§3.1引言

§3.2 L(o)wner算子的广义雅可比

§3.3全NR-函数与带惩罚的NR-函数

§3.3.1全NR-函数

§3.3.2带惩罚的NR-函数

§3.4 Chen-Mangasarian类光滑函数

§3.4.1一致光滑逼近性质

§3.4.2可微性

§3.4.3雅可比的一致性

§3.4.4强雅可比的一致性

§3.5正则光滑函数

§3.6正则光滑化方法

§3.6.1全局收敛算法

§3.6.2二次收敛算法

§3.7小结

第四章EP类互补函数和Mangasarian类互补函数

§4.1引言

§4.2 EP-α类和EP-β类函数

§4.3 Mangasarian类互补函数

§4.4 L(o)wner算子的单调性

§4.5小结

第五章结论和展望

§5.1结论

§5.2研究工作展望

参考文献

索引

作者简历

攻读博士学位期间发表的论文和完成的工作