环上矩阵的广义逆与加权广义逆

摘要

广义逆矩阵的理论和方法，不仅是许多数学分支的重要工具，而且在经济学、统计学、测量学、最优化、信息处理和运筹学等应用学科中都有着非常广泛的应用。在研究最小二乘问题，线性、非线性问题，无约束、约束规划问题，控制论和系统识别问题等等中，广义逆矩阵更是不可缺少的工具。另一方面，结合环的代数结构的研究方兴未艾，而环上矩阵的广义逆则是揭示环的代数结构的有力工具。 近年来，随着研究的深入，域、除环、主理想整环、Artin环等上矩阵的广义逆的研究也已不同程度的展开。本文主要是在文[6]、[7]、[12]等理论研究的基础上，对其中部分结论给以推广和总结。 第三章中首先讨论了环上形如A=GDH(其中G，H为右，左高矩阵，D2=D=D*)的矩阵的广义逆，但在一般情况下，D并不一定是幂等的，故可以讨论在一般的情况下，形如A=GDH的矩阵的广义逆存在的充要条件，并给出相应的表达式，同时给出A的{1，3}-逆和{1,4}-逆存在的充要条件。若环上矩阵没有上述特殊形式，定理3.2.3给出了一般的矩阵的广义逆存在的充要条件：(1)存在矩阵X使得AXA=A；(2)存在矩阵Z0使得A=AA*Z0；(3)存在矩阵Y0使得A=Y0A*A。 第四章主要讨论带有对合反自同构的有单位元的结合环上的矩阵的加权广义逆，定理4.1.6给出了这样矩阵的加权Moore-Penrose逆存在的充分必要条件：(GD)*M*GD+I-D-D，DHN-1(DH)*+I-DD-对称且可逆，同时给出了其表达式。当D的MP-逆存在时，肯定有D的{1}-逆存在，因此上面的定理的条件比文[9]中给出的条件弱，使[9]中的结论得以推广。同时，可以给出满足这种条件的矩阵的{1,3M}-逆和{1,4N}-逆存在的充要条件。最后，将K.P.S.Bhaskara Rao在文献[5]中给出的带有对合的有单位元的环上矩阵的Moore-Penrose逆存在的充要条件这个结论推广到环上矩阵的加权Moore-Penrose逆，得到定理4.2.11。

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致谢

1引言

2基础知识

2.1广义Moore-Penrose逆

2.2{i,j}-逆

2.3环上矩阵的加权Moore-Penrose逆

3环上矩阵的广义逆

3.1环上具有特殊形式的矩阵的广义逆

3.2环上一般矩阵的广义逆

4环上矩阵的加权广义逆

4.1环上矩阵加权广义逆的存在性

4.2*对称性与存在性

参考文献

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