复正定矩阵的Bergstrom型不等式

摘要

1973年，Johnson在其博士论文中研究了方阵A的A+A'是正定阵时的某些不等式，在此后的研究中称A+A'是正定阵的这类实方阵A为亚正定阵，它的作用不仅在理论上而且在应用上（如投入产出的矩阵理论、现代经济管理等）日益显示出来，研究它很有必要。 对于亚正定矩阵，屠伯埙做了详细的研究，给出了不少行列式估计的不等式，其中给出了一个亚正定矩阵与一个正定矩阵的和以及一个亚正定矩阵与k-局部完全对称矩阵的和的Bergstrom型不等式。 对于复正定矩阵，梁景伟、李俊杰等对其基本性质、特征值、标准形式进行了较为详细的讨论，并得到一些复正定矩阵与其Hermite分量和反Hermite分量的行列式间的若干不等式。 本文在已有复正定矩阵的理论基础上，主要研究了与复正定矩阵Schur补相关的Bergstrom型不等式，得到了两个主要定理（1）复正定矩阵与正定Hermite矩阵的Schur补与其各自的Schur补的和的行列式不等式；（2）两个复正定矩阵的和的Schur补与它们各自Schur补的行列式不等式，以及几个推论。

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致谢

1 引言

2 复正定矩阵理论的基本结果

2.1 预备知识

2.2 复正定矩阵理论的基本理论

3 复正定矩阵的Bergstrom型不等式

3.1 知识准备

3.2 复正定矩阵的一个偏序不等式

3.3 复正定矩阵的Bergstrom不等式

4 结论

参考文献

作者简历