用于压缩感知的确定性测量矩阵研究

摘要

压缩感知是针对稀疏或可压缩信号，在信号采样的同时对数据进行适当压缩的新理论。测量矩阵在数据采样和信号重建环节中发挥着至关重要的作用，研究压缩感知中的测量矩阵具有重要的理论意义。确定性测量矩阵由于其硬件实现方面的优势，是目前测量矩阵研究的重点。本文在深入研究压缩感知和现有常用测量矩阵的基础上，围绕确定性测量矩阵开展了以下工作：
　　 首先对常用的测量矩阵性能进行分析比较，围绕托普利兹确定性钜阵展开研究，结合分析一维可压缩信号和二维图像信号在变换域的分布特性，通过调整托普利兹矩阵部分元素的加权系数来强化对低频段数据的采样，构造得到一种新的广义轮换测量矩阵。通过仿真实验得出，广义轮换测量矩阵在重建精度上有了较大的提高。
　　 为了进一步提高确定性测量矩阵的性能，并满足信号重建的要求，本文在深入研究直积乘法定理的基础上，将循环直积引入确定性测量矩阵的构造过程。具体方法是从有限个低维正交“种子”向量出发，通过循环直积和QR分解方法获得高维正交矩阵，从中选取相应行向量构造测量矩阵。我们将这类确定性测量矩阵称为广义哈达玛矩阵。通过仿真实验比较得出，广义哈达玛矩阵与高斯随机测量矩阵的重建精度相当，构造时间更短，占用存储空间极少，具有很好的硬件实现优势。
　　 基于以上确定性测量矩阵的研究成果，为了避免矩阵构造过程中的冗余计算，进一步提高测量矩阵的构造速度，本文提出一种基于正交基线性表示的测量矩阵动态构造方法。其基本思想是根据测量矩阵行数M构造一组标准正交基并充当测量矩阵的前M列，利用伪随机算法生成的系数序列对其进行线性表示，得到测量矩阵的剩余列向量。仿真实验验证该构造方法具有更快的构造速度，且构造的测量矩阵重建精度与高斯矩阵相当。