光正交签名码及其相关设计的组合构作

摘要

1994年，Kitayama基于光纤通信技术在医学图像、数字视频广播以及超计算机可视化图像传输方面的应用，提出了一种新型的、采用空间扩频技术实现的光码分多址并行图像传输系统.与此同时，光正交签名码作为码分多址并行图像传输系统的首选光地址码，受到了信息论领域、组合设计领域等众多学者的关注.
　　设k，m，n，λa和λc为正整数.参数为（m，n，k，λa，λc）的光正交签名码(l)是一族自相关系数为λa，互相关系数为λc，且Hamming重量为k的m×n(0，1)-矩阵（码字），简记为(m，n，k，λa，λc)-OOSPC.一个光正交签名码的码字容量即为其所包含码字的个数，它决定了码分多址并行图像传输系统能够同时承载的最大用户量.令Θ(m，n，k，λa，λc)表示所有(m，n，k，λa，λc)-OOSPC中码字容量的最大值，则称码字容量为Θ(m，n，k，λa，λc)的(m，n，k，λa，λc)-OOSPC是最优的（或最大的）.当λa=λc=λ时，记号(m，n，k，λa，λc)-OOSPC与Θ(m，n，k，λa，λc)分别简写为(m，n，k，λ)-OOSPC与Θ(m，n，k，λ).
　　本文主要围绕如下的两个问题展开深入讨论.
　　(1)如何确定Θ(m，n，k，λa，λc)的精确值？
　　(2)如何构作码字容量为Θ(m，n，k，λa，λc)的最优(m，n，k，λa，λc)-OOSPC?
　　文章结构组织如下.
　　第1章简要介绍光正交签名码的研究背景、意义以及现状.
　　第2章探讨最优(m，n，k，λa，λc)-OOSPC码字容量的计算问题.利用有限群理论中群作用的思想给出λa=k或k-1情形下，Θ(m，n，k，λa，k-1)值的计算公式.
　　第3章从组合设计理论的角度出发，剖析光正交签名码的组合结构，指出光正交签名码与一类特殊填充设计之间的等价关系.进一步地，借助组合设计理论中的两类辅助设计:差阵与可分组设计，给出(m，n，k，1)-OOSPC的一系列递归构作.除此之外，还将以(3，n，4，1)-OOSPC为例，介绍两种直接构作光正交签名码的方法，同时给出(3，n，4，1)-OOSPC的一些无穷类.
　　第4与第5章将利用第3章给出的诸多构作方法去解决最优(m，n，4，1)-OOSPC和最优(m，n，3，1)-OOSPC的构作问题.其中，第4章主要是拓展(m，n，4，1)-OOSPC的已有结果.最终围绕三类参数:(1) gcd(m，18)=3且n≡0(mod12)，(2)mn≡8，16(mod24)且gcd(m，n，2)=2，及(3) mn≡0(mod24)且gcd(m，n，6)=2，获得最优(m，n，4，1)-OOSPC的若干无穷类.第5章则是在第3章所给构作方法的基础上，针对某些特殊参数下的(m，n，3，1)-OOSPC，创新出新的构作方法，从而使得最优(m，n，3，1)-OOSPC的构作问题得以彻底解决.
　　基于差阵在递归构作光正交签名码时的应用，第6章集中探讨了有限交换群G上(G，4，λ)差阵(即(G，4，λ)-DM)的存在性问题.最终针对λ=1且G为非循环交换群，以及λ＞1为奇数且G为交换群两种情形，证明了(G，4，λ)-DM存在的充要条件是G没有循环的Sylow2-子群.除此之外，还在第6章的末尾指出，对任意偶数λ≥2和任意有限交换群G，(G，4，λ)-DM总是存在的.

目录

声明

致谢

摘要

1 绪论

1．1 研究背景

1．2 模型与结论

1．3 主要结果

2 最优(m，n，k，λ，k-1)-OOSPC码字容量的计算

2．1 相关概念及结果

2．2 Θ(m，n，k，k，k-1)的精确值

2．3 Θ(m，n，k，k-1)的精确值

2．4 小结

3 光正交签名码的组合结构及构作

3．1 等价关系

3．2 光正交签名码的递归构作

3．3 几类(m，n，4，1)-OOSPC的构作

3．4 小结

4 最优(m，n，4，1)光正交签名码

4．1 预备知识

4．2 mn≡8，16(mod 24)的情形

4．3 mn≡0(mod 24)的情形

4．4 gcd(m，18)=3且n≡0(mod 12)的情形

4．5 小结

5 最优(m，n，3，1)光正交签名码

5．1 Θ(m，n，3，1)的改进上界

5．2 最优(m，n，3，1)-OOSPC的构作

5．2．1 mn≡1(mod 2)的情形

5．2．2 mn三0(mod 2)且gcd(m，n，2)=1的情形

5．2．3 gcd(m，n，4)=2的情形

5．2．4 gcd(m，n，4)=4的情形

5．3 小结

6 有限交换群G上的(G，4，λ)差阵

6．1 相关设计

6．2 2-群S2和3-群S3上的差阵

6．3 (S2×S3，4，1)-DM的存在性

6．4 (G，4，λ)-DM存在的充要条件

6．5 小结

7 待解决的问题

参考文献

作者简历及攻读博士学位期间取得的研究成果

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