伞形约束统计推断问题的优化方法

摘要

统计推断是统计学中的一类重要课题.在统计推断问题中，通常被估计的量或待检验的假设会有一些先验条件，这些条件作为约束条件放在统计推断模型中，形成有约束条件的统计推断问题.带约束的统计推断应用背景非常广泛，在医药，经济，环境科学，基因研究等领域起着很重要的作用，所以至今仍然是统计界研究的一个热门.
　　剂量—反应模型是一类经典的带约束的统计推断问题，研究的是如何设置药物的剂量使药物的使用即安全又有效，副作用最小.处理好这类问题，对药品的制造和使用有很大作用.在药物的剂量—反应研究中，药物的反应—剂量比率并不总是随着剂量的增加而一直增加，当剂量达到一定程度后，药物的毒副作用也会增加，其反应—剂量比率反而会下降.这样，反应—剂量比率形成一种先增后减的伞形顺序，其作为约束条件我们称之为伞形约束.从数学实质上看，带伞形约束的剂量—反应模型就是一类带约束的最优化问题.不同于统计中的保序回归方法，本文通过优化理论对带伞形约束的剂量—反应模型进行分析，用优化的思想解决统计学中的经典模型，为求解此类统计问题提供了一种新思路.
　　首先，本文研究了带伞形约束的剂量—反应模型的性质，证明了其解的唯一存在性，给出了其一阶最优性条件—KKT条件，二阶最优性条件，并研究了该模型的对偶性理论.其次，本文给出了该模型的三种优化算法—序列二次规划法，Rosen梯度投影法和乘子法，也给出了确定该模型伞形顶点的方法.最后，本文对一组真实数据进行了数值实验，并对三种算法进行了比较.

目录

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致谢

摘要

第1章 绪论

1．1 序约束下统计推断的起源与发展

1．2 伞形序约束下的统计推断

1．3 本文的工作意义与工作安排

第2章 优化模型理论

2．1 解的存在性、唯一性

2．2 一阶最优性条件

2．3 二阶最优性条件

2．4 对偶性理论

第3章 算法研究

3．1 算法研究

3．1．1 序列二次规划法

3．1．2 Rosen梯度投影法

3．1．3 乘子法

3．2 伞形顶点的确定

第4章 数值实验

4．1 剂量反应模型的数值实验

4．2 算法优劣性比较

第5章 结论

参考文献

作者简历

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