变指数泛函在图像反问题中的应用研究

摘要

伴随着变指数Lebesgue空间和Sobolev空间理论的发展，变指数函数空间中的函数找到了越来越多的具有局部“逐点异性”的物理对象与其对应，从而开创了将变指数函数空间理论应用于实际问题的新局面.继变指数函数空间理论在偏微分方程理论中得以应用，该理论在变分问题的建模、求解方面也实现了突破，摆脱了以往变分问题的局限性，即为具有局部异性甚至“逐点异性”的对象的研究提供了新的研究工具和理论依据.本文立足于一般图像的局部相异特性假设，从反问题的角度，利用正则化的方法尝试为图像复原、图像去噪以及图像增强问题建立在变指数Lebesgue函数空间和Sobolev空间中的变分模型.并且充分利用变指数函数空间理论和凸优化理论对模型解的存在性、唯一性以及求解方法进行了研究，从而在理论层面探讨了构建具有局部自适应特性模型的可行性，实现了对图像在变指数函数空间中更精确的描述和逼近目标.此外，本文还就如何在变指数变分模型中利用图像的局部相异特性及相关先验信息做出了有益的尝试.文中多角度的实验进一步支持了图像具有局部相异特性这一前提假设，证明了变指数变分模型在处理此类对象上的有效性和优势.
　　本文的主要工作及创新点如下:
　　(1)提出了一种图像流形框架下的变指数图像复原模型.首先根据微分流形理论以及流形上的几何特征与图像局部几何特征的内在联系，把整幅图像从局部几何特征的相似性角度予以重新结构;其次给出了图像流形几何特征相似程度的两种数量化的判别方法;最后通过选择适当的变指数能量泛函将图像流形的局部性质与正则化方法有机的结合起来，形成了一种基于图像流形局部几何特征的局部相异正则化变指数图像复原模型.文中基于模型的凸性，利用变指数函数空间理论及凸优化理论，给出了该模型解的存在唯一性的证明.此外，通过变分法的手段对模型能够恢复出图像局部性质的能力进行了数学分析.该部分最后通过选择快速的数值计算方法验证了变指数函数空间理论对解决图像复原问题的适用性及基于图像流形框架下构建图像复原模型的有效性.
　　(2)提出了一种基于图像噪声估计与图像局部特征的双变指数图像去噪模型.文中首先利用图像几何特征改进了一种噪声方差估计方法，然后依据优化模型在不同范数度量下解的特点以及残差的特征，将估计出的图像局部噪声方差信息用于选择变指数去噪模型的逼近项部分的能量泛函.此外，图像的局部特征也被用来选择正则化项的能量泛函，使得图像去噪模型中的逼近项与正则化项的能量泛函同时具备“局部自适应”的能力.文中给出了该模型的解的存在性证明以及数值求解的算法.通过实验结果的分析比较，表明该模型对遭受较大方差噪声污染的图像去噪有一定优势.
　　(3)提出了一种变指数函数空间中的Retinex图像增强模型.文中以Retinex理论为基础，分析了由低质图像分离出光照分量和反射分量这一问题的反问题属性及问题本身的病态性.基于光照分量与反射分量所具有的局部异性，在理论上给出了两种可以融合图像多种局部信息的变指数Retinex图像增强模型，并依据变指数函数空间理论对其进行了数学定性分析.正则化方法的使用，克服了原问题的病态特性;变指数泛函与图像特征的使用，实现了在分离光照分量与反射分量过程中对二者的精确描述，两方面相得益彰，有效提高图像增强的效果.文中采用分裂Bregman算法在特定变指数函数空间中对人造图像、自然场景下的图像以及特殊场景中的图像完成了数值实验，其实验结果充分说明了变指数Retinex图像增强模型较其它Retinex增强模型更加显著的改善了图像视觉效果.

目录

声明

致谢

摘要

1．1 研究背景与意义

1．1．1 理论研究背景及意义

1．1．2 应用研究背景及意义

1．2 国内外研究现状

1．2．1 图像复原技术的研究现状

1．2．2 图像增强技术的研究现状

1．3 主要研究内容和创新点

1．4 本文的章节安排

2．1 引言

2．2 反问题与正则化方法

2．3 变分法理论基础

2．4 图像处理领域常用的抽象空间理论

2．5 相关凸优化理论

2．6 微分流形及其几何特征

2．7 本章小结

3 基于变指数泛函的流形正则化图像复原方法

3．1 引言

3．2 图像的退化与复原

3．2．1 图像的退化与复原问题简述

3．2．2 图像复原问题的不适定性和正则化方法

3．3 流形正则化方法

3．3．1 传统“欧氏”正则化方法

3．3．2 流形正则化方法的基本思想

3．3．3 流形上的几何特征

3．4 流形正则化图像复原模型

3．4．1 模型的建立

3．4．2 流形上图像几何特征的数量化

3．5 模型的数值分析及其求解

3．6 实验结果

3．7 本章小结

4．1 引言

4．2 基于噪声估计的图像去噪模型

4．2．1 基于图像几何特征的噪声估计方法

4．2．2 基于图像噪声估计的图像去噪模型

4．2．3 模型的数学分析

4．2．4 模型的数值求解

4．3 实验结果

4．4 本章小结

5 基于变指数泛函的Retinex图像增强模型

5．1 引言

5．2 基于Retinex理论的图像增强算法研究现状

5．3 传统变分模型的不足

5．4 变指数函数空间中的Retinex模型

5．4．1 模型的建立

5．4．2 模型的求解

5．5 模型的实验

5．6 本章小结

6．1 全文工作总结

6．2 未来工作展望

参考文献

作者简历及攻读博士学位期间取得的研究成果

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