压缩感知重建算法及在图像重建中的应用研究

摘要

压缩感知是一种全新的采样理论，利用信号的稀疏性，集采样和压缩为一体，能够以非常低的采样率精确重建信号.最近压缩感知引起了学者的广泛关注，得到了迅速的发展，并在医学图像处理、信息论、雷达成像、模式识别等许多领域都有很重要的应用.
　　压缩感知研究稀疏信号的重建，数学上归结为欠定线性方程组的求解，该线性方程组的系数矩阵（即测量矩阵）满足一定的性质时，就能通过有效的算法重建该信号.重建算法是压缩感知理论的重要组成部分，直接关系着压缩感知理论应用的成效.本文研究压缩感知理论的一种贪婪算法和基于Laplace拟范数的阈值算法、改进测量矩阵性质的加权方法，以及针对核磁共振成像和相位恢复问题的重建算法，主要贡献和创新点如下;
　　1.最小二乘法是贪婪算法的重要部分，结合最小二乘，改进了拟Newton迭代投影(quasi-Newton iterative projection，QNIP)算法.基于限制等距性(restricted isometry property，RIP)，给出了该算法的收敛性证明.仿真实验表明该算法具有良好的重建性能;
　　2.基于研究Laplace拟范数的性质，得到Laplace正则化模型的阈值点及它的解可以拟解析地由阈值形式表示出来，并据此得到了相应的阈值算法.仿真结果表明，和lp(0≤p≤1)阈值算法相比，Laplace阈值算法有相近的运行时间，但有更高的重建率;
　　3.由于压缩感知重建算法要求测量矩阵具有小的限制等距常数(restricted isometry constant，RIC)，而许多成像系统中的测量矩阵并不满足该条件，故而限制了压缩感知的应用.为此，基于奇异值分解，我们提出一种对于测量矩阵的加权方法，并证明了一定情形下，这个加权方法改进了RIC，这就扩宽了压缩感知的应用范围.并将此加权方法初步应用到计算机断层扫描(computed tomography，CT)中.仿真结果表明该加权方法提高了重建效果;
　　4.研究了压缩感知在核磁共振成像(magnetic resonance imaging，MRI)中的应用.结合Hessian Schatten范数和自适应字典，得到了一种新的正则化重建模型，并利用分裂Bregman迭代方法将重建模型分裂为几个子问题，进而设计出相应的算法.针对MR图像，用不同采样方案和采样率，在无噪和有噪情景下的仿真结果表明了该算法的有效性;
　　5.相位恢复问题的测量数据丢失了相的信息，可以看成非线性的压缩感知，故我们将压缩感知中典型的正交匹配追踪(orthogonal matching pursuit，OMP)算法扩展到相位恢复问题中，得到针对相位恢复问题的一种新的贪婪算法.给出了该算法的精确重建条件，并得到了该算法的改进版本.仿真结果表明了该算法的有效性和鲁棒性.

目录

声明

致谢

摘要

符号说明

1．1 研究背景及意义

1．2 研究现状

1．2．1 信号的稀疏表示

1．2．2 重建算法

1．2．3 测量矩阵的设计

1．3 本文研究内容

2 拟Newton投影追踪算法

2．1 引言

2．2 预备知识

2．3 算法回顾

2．3．1 拟Newton迭代投影算法

2．3．2 压缩采样匹配追踪

2．4 拟Newton投影追踪算法

2．5 仿真实验

2．5．1 一维信号

2．5．2 二维图像

2．6 小结

3 基于Laplace拟范数的阈值算法

3．1 引言

3．2 Laplace拟范数和Laplace正则化

3．3 Laplace正则化的算法

3．4 仿真实验

3．4．1 正则化参数的优化

3．4．2 实验

3．5 小节

4 基于降低RIC的测量矩阵优化设计

4．1 引言

4．2 预备知识

4．3 加权约束方程

4．4 OMP的收敛性分析

4．5 仿真实验

4．5．1 一维信号

4．5．2 二维图像

4．5．3 应用到CT重建中

4．6 小结

5 核磁共振成像的Hessian Schatten自适应字典算法

5．1 引言

5．2 预备知识

5．2．1 Hessian Schatten范数

5．2．2 自适应字典

5．2．3 分裂Bregman迭代

5．3 新算法

5．3．1 新模型

5．3．2 Hessian Schatten自适应字典算法

5．4 仿真实验

5．4．1 无噪情景

5．4．2 有噪情景

5．5 小结

6 相位恢复的扩展的OMP算法

6．1 引言

6．2 基本概念

6．3 相位恢复的正交匹配追踪算法

6．4 相位恢复的多匹配追踪算法

6．5 仿真实验

6．5．1 路径数对重建结果的影响

6．5．2 测量数对重建结果的影响

6．5．3 对噪声的鲁棒性

6．6 小节

7．1 研究工作总结

7．2 研究工作展望

参考文献

作者简历及攻读博士学位期间取得的研究成果

学位论文数据集