关于一类Incidence代数的单连通性

摘要

从K．Bongartz和P．Gabriel在1981/82年提出了有限维单连通代数的概念开始，有限维单连通代数的重要性已经被广泛地注意到。事实上，覆盖技术使得我们可以把很多问题简化到单连通代数的情形。然而，到目前为止，对于一个给定的代数来说要判定它是不是单连通代数并没有一般方法。所以研究哪些代数是单连通的哪些不是单连通的判别法是一个有意义的工作。本文主要研究一类特殊的代数，即incidence代数。这类代数的基本群不依赖于它的表现(presentation)。本文给出了quasi-suspension的分解以及对一类incidence代数提供了判别它不是单连通代数的方法。我们大部分的证明采用的是组合方法。 背景资料和我们的主要结果由第一章给出。在第二章，我们把suspend和suspension的概念分别拓展到quasi-suspend和quasi-suspension的情形。同时我们从不同的角度分析了冠(crown)的本质，这使得我们更为方便地判定一个圈(cycle)到底是不是一个冠。由这个观点我们可以把冠看作是具有特殊性质的圈。在第三章，我们证明了第一个主要结果：关于quasi-suspension的分解。这个分解的意义在于它把我们对冠r的结构的研究降低到一个更为可行的情形(见命题3.2.3(b))。因为弱冠(weak crown)的圆周(circumference)同伦于这个分解里的各个冠的圆周的乘积的一个共轭。这些圆周在quasi-suspend点具有公共始点和终点。该分解也给出了分解里的各个冠的长度和冠r的长度的关系。为了更好地理解这个命题，我们在证明之前给出了一个具体的例子。在第四章，引理4.1.3给出了一个具体的操作过程来检验一个给定的圈是否为一个冠。定理4.2.1.则提供了一个简便的办法来判断大量的incidence代数的非单连通性。此外，推论4.2.2.给出了一种quasi-suspension是非单连通的情况。

目录

文摘

英文文摘

声明

Chapter 1 Introduction

1.1 Backgrounds

1.2 Main results

Chapter 2 Preliminaries

2.1 Algebras and quivers

2.2 Modules and representations

2.3 The fundamental group

2.4 The Separation property

2.5 The incidence algebras

2.6 Weak crowns and crowns

2.7 Summary

Chapter 3 The Decomposition of a Quasi-suspension

3.1 Example

3.2 The decomposition of a quasi-suspension Г(-x)

3.3 Summary

Chapter 4 The Criteria

4.1 Lemmas

4.2 The Criteria

4.3 Summary

Conclusion and Outlook

Conclusion

Outlook

References

Acknowledgement