具有临界非线性项的基尔霍夫型方程解的存在性和多重性

摘要

本文主要应用变分法研究了两类具有临界非线性项的Kirchhoff型方程,在适当的条件下,分别获得了非平凡解的存在性和多重性.本文共分四章.　　第一章主要介绍近代变分法及Kirchhoff型问题的研究背景及意义,并简要介绍了本文问题的提出和主要工作.　　第二章给出相关的预备知识.　　第三章考虑如下具有p调和算子的四阶Kirchhoff型方程的解的存在性,（此处公式省略）　　其中?是RN中具有C2边界的有界区域,N≥2,△是拉普拉斯算子,?u/?v是外法向导数,λ是正参数,f:?×R→R是Caratheodory函数,p**是临界指数,即,（此处公式省略）　　其中p∈(2,+∞).　　基于Kajikiya提出的对称山路引理和Lions的集中紧性原理,我们得到如下结论:存在λ*>0,使得对于所有λ∈(0,λ*),问题(1)有一列非平凡解{un},且当n→+∞时,un→0.　　第四章我们研究如下四阶Kirchhoff型椭圆方程的解在全空间上的存在性和多解性（此处公式省略）　　其中常数a,b>0,2**=2NN?4是Sobolev临界指数,k(x)∈Lr(RN),r=22**/**?q,α和β是实参数,N≥5.　　通过利用Lions第二集中紧性原理和无穷远处的集中紧性原理来证明局部(PS)c条件成立,利用极小极大方法和Krasnoselski亏格理论,我们得到了解的多重性.

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