加权的Patterson-Sullivan测度的临界指数的下界

摘要

对于一个单连通负曲率黎曼流形X，在其理想边界X(∞)上有许多不同的测度族，其以X中的点为指标，且每族中的元素属于一个相同的测度类。Lebesgue测度、调和测度以及Patterson-Sullivan测度这三种测度尤为重要。　　本文主要考虑X上的Holder连续的非零位势函数，着力于研究带有此类函数的Patterson-Sullivan测度（我们称之为加权的Patterson-Sullivan测度）的性质以及Patterson-Sullivan测度与测地流的动力学之间的关系，特别是加权的Patterson-Sullivan测度的临界指数的下界估计，这是几何群论中的一个重要问题。　　在对负曲率流形上测地流和遍历理论的研究中，Patterson-Sullivan测度起到了至关重要的作用。基于近年来的研究进展，本文在Paulin-Pollicott-Schapira研究的基础上，将测地流的动力学与负曲率流形的几何性质二者融为一体，结合遍历理论，引进一个新公式，进而阐述了带有Holder连续位势函数的Patterson-Sullivan测度的指数衰减率和相对应的临界指数的关系，并且将Kaimanovich的一些结果由Patterson-Sullivan测度推广到了加权的Patterson-Sullivan测度。

目录

声明

1 绪 论

2 预备知识

2.1 微分流形（Differentiable Manifolds）

2.2 切空间（The Tangent Space）

2.3 切丛（The Tangent Bundle）

2.4 黎曼流形（Riemannian Manifolds）

2.5 测度空间与保测变换（ Measure Spaces and Measure Preserving Transformations）

2.6 遍历性（Ergodicity）

2.7 Birkhoff遍历定理（Birkhoff Ergodic Theorem）

3 临界指数与Patterson-Sullivan测度

3.1 Gibbs上循环（Gibbs cocycle）

3.2 临界指数的下界（The Lower Bound of Critical Exponents）

3.3 主要结论的证明（Proof of Main Result）

4 总结与展望

4.1 论文总结（Summary of Thesis）

4.2 研究工作展望（Prospect of Research Work）

参考文献

作者简历

致谢

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