分形集的拓扑结构和Lipschitz分类

摘要

本文研究了自相似集和自仿集的拓扑结构和拓扑性质，主要包括有重叠的自相似集的拓扑分类和Lipschitz分类，含参数自相似集族和自仿集族的连通性。全文内容分为以下七个章节：　　第一章介绍了本文的研究背景和研究现状，并叙述了本文的主要结论。第二章介绍了本文需要用到的概念和结论，主要涉及迭代函数系统、自相似集、自仿集、符号空间、Gromov双曲图理论以及矩阵重排条件。　　第三章研究了一类有重叠结构的平面自相似集的拓扑分类问题。确切的说，假设整数m≥2，有限数字集(此处公式省略)，则存在平面自相似集F?R2满足(此处公式省略)。本章证明了F的拓扑结构有且只有三种类型：1)F是完全不连通集；2)F的所有非平凡的连通分支都是平行线段；3)F包含一个不是线段的非平凡的连通分支。此外，本章也在自仿集上做了一些推广。　　基于第三章的拓扑研究，第四章对其中一类完全不连通的有重叠的自相似集族进行了Lipschitz等价研究。利用刘家成和罗军[54-56]介绍的Gromov双曲图理论，通过检验矩阵重排条件，本章证明了自相似集族的Lipschitz等价类只与某个重叠数相关。　　第五章讨论了两类含参数自相似集族的连通性。第一类参数变化使得数字集中的某些向量沿着x轴方向移动，本章详细的刻画了相应自相似集的连通性和拓扑圆盘结构，并且证明了自相似tile能够确定一个准周期平铺当且仅当该参数是有理数。第二类参数变化使得数字集的某些数字沿着对角线方向移动，本章给出了相应自相似集是连通集的充分必要条件。　　第六章通过基数展开的方法刻画了一类平面自仿集族的连通性。对整数n,m≥2，令扩张矩阵A=diag(n, m)和数字集(此处公式省略)，则由(A,D)生成的自仿集F(A,D)是一个单位正方形。通过移动数字集中的某个向量，相应自仿集的拓扑结构将会变得非常有趣，本章详细分析了这种移动变化对自仿集连通性的影响。　　最后，第七章回顾和总结了全文的主要工作，并对未来研究提出了一些新的问题。

目录

1 绪 论

1.1研究背景与研究现状

1.2 本文的主要结论

1.3 本文的章节安排

2 预备知识

2.1 迭代函数系统

2.2 由IFS诱导的Gromov双曲图

2.3 矩阵重排条件

3 有重叠的自相似集的拓扑分类

3.1 主要定理及其证明

3.2 在自仿集上的推广

3.3 本章小结

4 有重叠的自相似集的Lipschitz分类

4.1 直线上的自相似集

4.2 平面上的自相似集

4.3 本章小结

5 自相似集的连通性

5.1 自相似tile

5.2 准周期平铺

5.3 自相似集

5.4 本章小结

6 自仿集的连通性

6.1 主要定理及其证明

6.2 本章小结

7 总结与展望

7.1 本文工作总结

7.2 后续工作展望

参考文献

附录

A. 作者在攻读博士学位期间发表和待发表的论文目录：

B. 作者在攻读博士学位期间参与的科研项目：

C. 学位论文数据集：

致谢