提高有限元方法计算效率的若干问题的研究

摘要

现代电磁工程要求计算电磁学能够处理实际的大型复杂结构的电磁计算问题.许多的电磁场的数值计算方法,或受限于计算时间,或受限于内存空间,而难以达到这一目标,有普遍适用性的有限元方法也不例外.近些年来,已经出现了一些很有潜力的新的数值算法,如撕裂法,多重网格法,区域分解法和分裂外推法等,它们与有限元法结合后,可以非常有效地提高有限元方法对于处理大规模计算问题的能力.该文正是着眼于探索这些快速的数值算法如何在计算电磁的有限元分析中得以有效的应用,并发挥出它们的作用.在对这些技术的共性进行了探讨的基础上,对它们如何组合以便产生更为有效的算法也进行了研究.该文对电磁计算中的有限元方法的历史和现状进行了简单的总结,作为该文的基础部分.涉及到了单元的类型,单元的构造,讨论了多种局部吸收边界条件,介绍了自适应有限元分析和最终的稀疏线性矩阵方程的迭代数值求解方法.撕裂法是种有效的直接求解方法,该文将该思想与另一得到广泛应用的模块思想结合,提出了一种有限元直接分析方法,该法可以在分析一类散射问题时,所用时间甚至比常用的预条件共轭梯度法所用的少一个数量级,而内存的需求却与之相当. 多重网格法是种具有最优计算时间O(N)的迭代求解法,而且它的收敛速度不随网格尺寸的变小而变慢.该方法近年来,在流体力学,固体力学等领域得到了广泛应用,而在计算电磁领域尚处于刚起步阶段.多重网格应用中的麻烦之处在于需要确立多套网格并建立它们间的限制算子.该文将这多套网格与有限元自适应分析产生的具有小波基特点的等级基对应,由此设计了非常简单的限制算子,可以直接由细网格上的系统矩阵方程得到粗网格.该文还将多重网格方法作为预处理器,通过预条件共轭梯度法实现了数十个本征值及对应向量的准确高效求解,结合多模网络与模匹配技术,成功地对三维不连续结构进行了分析.区域分解法是另外一种近年来得到重视的高效算法,它能将大规模计算问题分解为众多的小规模问题的计算.该文具体地分析了该技术用于电磁问题的有限元分析时影响其性能的几个因素:小区域求解次序,传输边界条件.比较了几种次序对收敛性能的影响以及它们于并行实现的对应关系,对传输条件的松弛化的效果也通过实际计算进行了研究.另外,对区域分解与有限元的组合产生更高效的方法也进行了探讨,提出了两种组合方案.分裂外推法是种比传统的外推更有效的有限元后处理技术,它可以组合多个粗网格上的离散解来得到更精确的结果.该文对这种能有效处理高维问题的外推法的实现过程进行了简单介绍,并应用该技术,对一彼导不连续结构进行了有限元分析,表明了它的优越性.同时,探讨了分裂外推法与区域分解法的结合.

目录

文摘

英文文摘

第一章绪论

§1.1现代大规模科学计算的特点及发展趋势

§1.2计算电磁领域的一些常用方法

§1.3改进计算效率的一些技术

§1.3.1撕裂模块法

§1.3.2多重网格法

§1.3.3区域分解法

§1.3.4分裂外推法

§1.4论文的主要内容和创新之处

参考文献

第二章计算电磁中的有限元方法

§2.1有限元方法概述

§2.2单元

§2.2.1类型：从标量元到矢量元

§2.2.2高阶单元的特点

§2.3边界处理

§2.3.1局部的吸收边界条件

§2.3.2整体边界条件

§2.4有限元的稀疏系统矩阵方程的求解

§2.4.1直接解法：

§2.4.2迭代解法

§2.5自适应有限元

§2.6计算实例

§2.7小结

参考文献

第三章基于撕裂模块技术的直接有限元分析

§3.1撕裂法(diakoptics)

§3.1.1思想起源与发展历史

§3.1.2在计算电磁领域的应用

§3.2模块思想

§3.2.1模块思想及应用

§3.2.4递归求解的计算复杂度分析

§3.3基于撕裂法和模块思想的一种新的直接有限元分析方法

§3.1MFEM的实现步骤

§3.2 MFEM的计算复杂度

§3.4计算实例

§3.5本章小结

参考文献

第四章多重网格技术与有限元的结合

§4.1多重网格思想及应用简介

§4.1.1背景

§4.1.2多重网格的基本思想及迭代步的实现

§4.1.3多重网格的分类

§4.2一种简单的基于等级基的多重网格方法

§4.2.1有限元的自适应局部加密

§4.2.2等级基

§4.2.3新的等级基多重网格法

§4.2.4计算实例

§4.3多重网格技术用于阶梯不连续结构的分析

§4.3.1本征值问题的定义

§4.3.2本征值求解的MGLOPCG方法

§4.3.3 MG用于杂交边缘元时R与P的确定

§4.3.4 MGLOBPCG的性能表现

§4.3.5多模网络与模匹配法简介

§4.4.6计算实例

§4.4小结

参考文献

第五章区域分解技术在有限元分析中的应用

§5.1计算电磁领域的区域分解方法

§5.2不同区域迭代次序的选择

§5.3传输边界条件的确立及改进

§5.4区域分解法的变种

§5.4.1与多重网格法的组合

§5.4.2区域分解与预条件共轭梯度的结合

§5.5小结

参考文献

第六章分裂外推技术在有限元分析中的应用

§6.1分裂外推法简介

§6.2分裂外推法的实施过程

§6.3分裂外推与区域分解法的组合

§6.4计算实例

§6.5分裂外推与区域分解，多重网格的关系

§6.6小结

参考文献

第七章总结与展望

§7.1总结

§7.2提高有限元方法效率的展望

参考文献

致 谢

作者在博士生学习期间完成和发表的论文：