基于跳跃扩散过程的亚式期权的高效马氏链方法

摘要

随着金融市场的发展，金融衍生品市场也不断丰富，以满足投资者们交易和风险规避的需求，而其中具有灵活合约机制的期权的定价一直是金融数学中研究的重要问题，亚式期权由于具有价格相对低，不依赖于单一时刻价格定价而相对风险小的优点而受到欢迎。鉴于市场中会发生突然事件，为了更准确的刻画股票的价格变化过程，Merton提出了将泊松运动加入到几何布朗运动中来描述股票价格发生的不连续波动，并提出间断的跳过程的发生，为了更贴近实际，本文将跳跃过程加入到亚式期权的定价中。　　本文以跳跃扩散模型下亚式期权定价作为研究对象，结合自融资策略和降维方法得到了跳跃扩散下几何平均亚式期权的定价公式，并求出其解析解，对于跳跃扩散下的算术平均亚式期权，对比数值差分方法和二叉树方法的计算量大以及复杂性，给出了一种高效的马氏链算法。本文的创新性在于：（1）由于亚式期权的价格由资产平均价格决定，资产价格路径存在指数增长问题，且均匀离散价格初值时，为了保证精确度会选择更多初值点，导致转移矩阵过大，计算复杂，难以利用马氏链方法。本文通过根据概率分布离散得到初值，由于分布函数不均匀的特点，实现了非一致离散，而不需要使用更复杂的函数来实现空间非一致离散，得到比均匀离散更高效的初值，也解决了由于标的资产价格区间为[0,+∞)不同于概率分布值区间[0,1],需要更多初值点的问题，并在计算过程中，根据最大均值和最小均值的递推公式，运用线性插值方法，解决了亚式期权的路径依赖性造成的平均价格路径指数增长的问题，大大减少了计算量，从而实现了亚式期权的马氏链算法。（2）在状态转移矩阵的计算中，由于一般难以得到准确的转移累计概率，可采用傅里叶变换来计算近似累积分布函数，而泊松跳过程能求出累积概率表达式，减少误差，论证了泊松跳跃扩散过程应用马氏链方法的优越性。最后本文将优化的马氏链方法的数值模拟结果和蒙特卡洛模拟方法进行比较，结果表明这种马氏链方法在误差范围5%内，时间比蒙特卡罗方法显著短，说明了方法的可行性，且方法存在进一步改进空间。

目录

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第1章 绪论

1.1选题背景和研究意义

1.2 国内外研究现状

1.3 期权的定价方法

1.4 论文主要内容

第2章 亚式期权定价模型

2.1 亚式期权定价基础知识

2.2基本定义和引理

2.3 B-S期权定价公式

2.4 亚式期权的B-S模型

第三章 几何平均亚式期权定价

3.1跳跃扩散下期权定价模型

3.2 几何平均亚式期权定价

第四章 算数平均亚式期权定价

4.1 数值差分方法

4.2 二叉树方法

4.3 优化马氏链方法

4.3.1 马尔可夫链理论

4.3.2 马氏链方法

4.3.3 方法实现

第五章 数值实验设计和分析

5.1 蒙特卡罗模拟方法

5.2马氏链方法

5.3 实验结果

第六章 结论与展望

参考文献

致谢