全纯函数空间中的逼近理论

摘要

函数逼近理论研究的核心是用简单函数(如代数多项式，三角多项式，样条函数等)来逼近一类较为复杂的函数，以及逼近的定性和定量问题.实变函数以及单复变全纯函数的逼近理论已有丰富的内容[76，77]，但是多复变全纯函数逼近理论尚没有建立.
　　 本文以多复变全纯函数空间为主要研究对象，研究其上的逼近理论.通过引入新的与测度μ相关的Qμ和Aμ全纯函数空间，统一处理了众多函数空间包括BMOA，Bloch，Qp,Hardy，Bergman，Lipschitz，QK，F(p，q，s)，球代数，Bargmann空间.建立了Qμ和Aμ空间上的多项式逼近的正逆定理，从而统一给出了众多全纯函数空间的一致的逼近结果.需要指出的是，在我们此工作之前尚没有发现关于多复变全纯函数空间上的Bernstein逆定理的任何结果.在多复变全纯函数空间逼近论的研究中，我们还首次引入了K-泛函，以此为工具建立了Qp空间上的强逆不等式，多项式逼近和Riesz算子的弱等价性等理论.我们将刻画Hardy空间边界值光滑性的Hardy-Littlewood定理推广到Bergman空间，克服了Bergman空间没有边界值的缺陷，这是将Hardy空间边界理论推广到Bergman空间的崭新理论.我们还将Savchuk关于Dirichlet函数类的Fejér算子逼近理论从单位圆盘推广到单位球上.
　　 每章更具体的内容如下：
　　 逼近论中的正定理即Jackson定理是研究利用函数的光滑性(如连续性，可微性，Lipschitz光滑性等)来控制该函数的逼近程度.我们将研究BMOA，Qp空间，Bloch空间，Besov空间，球代数等全纯函数空间中的正定理，其中重点研究了单位圆盘上Qp空间的高阶Jackson定理，同时也给出了星形圆型域上全纯函数空间的相应结果.我们引入一类更为广泛的Qμ和Aμ全纯函数空间，从而统一给出了许多全纯函数空间的Jackson逼近定理.(见第二章)
　　 逼近的逆定理即Bernstein定理是研究如何利用函数的多项式的逼近度来控制该函数的光滑性.同样我们统一处理许多全纯函数空间，包括BMOA，Qp，Bergman型空间，D代数等.首先我们得到了各函数空间著名的Bernstein不等式，进而建立了多项式逼近的Bernstein逆定理.作为函数逼近正逆定理的应用，我们得出了特殊却很重要的函数类(Dirichlet类和Zygmund类)的多项式逼近阶与函数光滑性态的等价关系.(见第三章)
　　 K-泛函是研究函数逼近性质的另一重要工具.我们引入了单位球上Qp空间中的K-泛函并建立了Qp上的强逆不等式，多项式逼近和Riesz算子逼近的弱等价性，线性逼近以及Marchaud不等式等理论.(见第四章)
　　 单位圆盘上Hardy空间中的Hardy-Littlewood型逼近定理给出了边界值函数的光滑性与函数导数的平均增长速度之间的紧密联系.我们将这一结果拓展到有界对称域上的Bergman型函数空间.(见第五章)
　　 关于单位球上的Dirichlet函数类，我们得到了Dirichlet函数类在Hardy空间范数下的利用Fejér算子的精确逼近阶和上界估计.(见第六章)
　　 多复变全纯函数空间逼近论的研究丰富和完善了现有多复变函数理论.考虑到逼近论在实分析，复分析，调和分析，计算科学，工程数学和信息理论等领域的重要作用，因此多复变逼近理论具有广阔的应用前景.

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章 绪论

§1.1引言

§1.2本文主要结果

§1.2.1预备知识

§1.2.2主要结果

第二章 Jackson定理

§2.1单位圆盘上的Qp空间

§2.1.1 Qp空间

§2.1.2逼近多项式

§2.1.3误筹函数的导数估计

§2.1.4 Jackson定理

§2.2星形圆型域上的Qμ空间

§2.2.1积分公式

§2.2.2 Jackson定理

§2.2.3梯度估计

§2.2.4 Qμ空间

§2.3其它空间

§2.3.1逼近点态估计

§2.3.2 Hardy空间

§2.3.3 Bloch型空间

§2.3.4 D代数

§2.3.5 Lipschitz空间

§2.3.6 Besov空间

第三章 Bernstein定理

§3.1单位圆盘上的Qp空间

§3.1.1 Bernstein不等式

§3.1.2最佳逼近存在性

§3.1.3 Bernstein逆定理

§3.1.4正逆定理的应用

§3.2星形圆型域上Qμ的空间

§3.2.1 Bernstein不等式

§3.2.2最佳逼近存在性

§3.2.3 Bernstein逆定理

§3.2.4正逆定理的应用

§3.3其它空间

§3.3.1 Aμ空间

§3.3.2 Bergman型空间

§3.3.3 D代数

第四章 K-泛函及其应用

§4.1 K-泛函和Riesz算子

§4.2强逆不等式

§4.3线性组合逼近

§4.4 Marchaud不等式

第五章 Hardy-Littlewood型定理

§5.1引言

§5.2 Bergman型空间与径向导数

§5.3 Hardy-Littlewood型正定理

§5.4 Hardy-Littlewood型逆定理

§5.5 Hardy-Littlewood定理

第六章 Dirichlet类的Fejér算子逼近

§6.1背景

§6.2 包含关系

§6.3 一些引理

§6.4 Fejér算子逼近

第七章 后记

参考文献

作者攻读博士期间完成论文

致谢