与经典Fresnel变换对应的量子光学中的若干新幺正算符

摘要

经典光学（Fourier光学)的一个重要组成部分是Fresnel衍射（Fresnel变换）
　　 及关于衍射的Collins公式。我国学者范洪义等人首先用相干态表象研究了Fresnel衍射的量子对应，利用有序算符内的积分（IWOP）技术他们建立了一个量子力学Fresnel算符，以实现量子光学中的Fresnel变换，它与经典Collins公式相对应。自量子的Fresnel变换提出以来，它被广泛的应用于讨论经典光学与量子光学之间的关系，及与其他光学变换的关系。本文将用量子光学的观点重新审视若干经典光学变换，我们采用的是压缩相干态表象和相干纠缠态表象，提出与经典Fresnel变换对应的新的量子光学中的若干幺正算符，如单模和双模广义Fresnel算符，Fresnel-Hadamard互补算符，并给出其物理意义。这些新幺正算符的经典对应给经典光学提供了新变换的可能性。我们这篇论文研究的出发点是基于如下的考虑：范洪义等人给出的Fresnel算符是通过相干态在相空间的一个代表点z = (x+ip)/(√2)运动到另一点sz-rz*而导出的，这里ss*-rr* = 1。根据相空间的直观分析，一个相干态对应于图形上面积为(h)/2的小圆。量子Fresnel变换表明相空间的一个小圆移动到另一个小圆。Ss*-rr* = 1保证了该变换是辛变换，同时也是刘维定理（相体积不变）的一个佐证。而我们是从压缩相干态在相空间的代表点（一个椭圆）的运动及用IWOP技术来提出广义Fresnel算符的。鉴于量子纠缠的理论也渗透到量子光学中，我们又基于相干纠缠态表象，提出了一个Fresnel-Hadamard互补算符，它对一个光分束器的两个输出光场(a1+a2)/(√2)和(a1-a2)/(√2)分别起到了Hadamard变换和Fresnel变换的作用（该光分束器的两个输入光场光场分别为a1与a2）。
　　 我们的论文具体安排如下：
　　 第一章，首先介绍本文工作的研究背景，然后介绍经典Fourier光学中的Fresnel衍射公式，以及在经典框架内介绍了衍射的Collins公式的推导过程。
　　 第二章，为了建立起从经典到量子之间的”桥梁”，我们介绍了一些背景知识。首先介绍了一些常用的基本表象如坐标、动量、粒子数、及相干态等表象。然后介绍了真正起到上述”桥梁”作用的有序算符内的积分（IWOP）技术的提出背景和内涵。
　　 第三章，我们介绍了从量子光学的相干态表象及用IWOP技术提出的与Fresnel变换对应的量子算符，称之为Fresnel算符。从相空间的直观分析，Fresnel算符对应于相干态在相空间的代表点（一个为面积(h)/2的圆）的运动变换。那么当我们考虑一个压缩相干态(在相空间代表一个椭圆)的运动，相应的量子力学变换是什么呢？
　　 第四章，我们从量子光学的相干压缩态表象及用IWOP技术提出了与Fresnel变换对应的量子算符，称之为广义Fresnel算符。从相空间的直观分析，广义Fresnel算符对应于压缩相干态在相空间的代表点（一个椭圆）的运动（而相干态的代表点是一个圆，其运动对应Fresnel算符）。
　　 第五章，我们基于双模相干压缩态表象介绍了与双模Fresnel算符对应的双模广义Fresnel算符。
　　 第六章，基于相干纠缠态表象，我们发现了一个Fresnel-Hadamard互补算符，它对双模光场a1与a2经过一个光分束器的输出光场(a1+a2)/(√2)和(a1-a2)/(√2)分别起到了Hadamard变换和Fresnel变换的作用。以上讨论表明，从量子光学的新表象和有序算符内的积分（IWOP）技术，我们可以找到新的光学变换。
　　 最后，我们给出一些总结和展望。