数学物理问题中几类无限维分次李代数的形变理论

摘要

本文探索数学物理问题中几类无限维分次李代数的形变理论，其中包括Schr¨odinger-Virasoro李代数、扩张的Schr¨odinger-Virasoro 李代数、W(2;2)李代数.另外，我们还介绍了一类新的代数结构：Hom-李color 代数，它同样可以看作是李代数的某种形变.
　　 量子群起源于理论物理.它最早出现在用于构造和求解量子可积系统的反散射方法中，后来由Drinfel'd和Jimbo等人逐步发展起来.但是，目前为止，量子群没有一个统一明确的定义.通常，量子群是指某种Hopf代数，并且在许多情形下，它们是某个李代数的泛包络代数的形变，即量子泛包络代数.或者粗略地说，量子群就是既非交换又非余交换的Hopf 代数.Drinfel'd 给出了一个构造这类Hopf 代数的方法.它基于经典极限和量子化的概念.而在量子化过程中起关键作用的Drinfel'd 扭由李双代数结构决定.这就使得李双代数的研究成为一个非常必要的课题.目前并没有一致的方法去实现所有李双代数的量子化.事实上，探索某个具体的李代数的双代数结构并进行量子化是一件比较复杂的工作.
　　 我们研究了Schr¨odinger-Virasoro 李代数和扩张的Schr¨odinger-Virasoro 李代数的双代数结构及其量子化.这两个代数都是12Z-分次的无限维李代数.其中，Schr¨odinger-Virasoro 李代数是在研究自由Schr¨odinger 方程的过程中提出来的.它和Schr¨odinger 代数及Virasoro 代数有密切关系，而这两种代数在数学和物理的许多方面都有重要应用。J.Unterberger 在研究Schr¨odinger-Virasoro 李代数的顶点表示时，介绍了扩张的Schr¨odinger-Virasoro 李代数.它可以看作是原来的Schr¨odinger-Virasoro 李代数的扩张.但是这两个李代数在结构和表示方面有很大不同.这在它们的李双代数结构上也有所体现.Han-Li-Su 证明了Schr¨odinger-Virasoro 代数的李双代数结构不完全是三角上边缘的.但是，我们对扩张的Schr¨odinger-Virasoro 代数的研究表明：其上所有的李双代数结构都是三角上边缘的.
　　 在第3章中，我们分别对Schr¨odinger-Virasoro 李代数和扩张的Schr¨odinger-Virasoro 李代数进行了量子化.通过在Schr¨odinger-Virasoro 李代数上选取两对合适的元素h；e 使其满足[h；e]=e，我们构造了两个不同的Drinfel'd 扭.它们是由Schr¨odinger-Virasoro 代数上的双代数结构完全决定的.然后，我们利用这两个Drinfel'd 扭对Schr¨odinger-Virasoro 代数进行量子化，得到了两种既非交换又非余交换的Hopf 代数结构.应用类似的方法，我们实现了扩张的Schr¨odinger-Virasoro 代数的量子化，得到了另外一个既非交换又非余交换的Hopf 代数.
　　 李代数的量子形变既是产生新代数的一种重要手段，同时也是量子群理论的研究重点之一.为此，我们考虑无中心的W(2；2)李代数(记作W)，研究了它的量子形变.这是一个Z-分次的无限维李代数.首先，我们利用理论物理中的波色子和费米子两种旋量准确地实现了无中心的W(2；2)李代数.在此基础上，我们定义了它的量子形变Wq以及更一般形式的量子形变Wcq1.在q ! 1 时，它们都和无中心的W(2；2)李代数保持一致.进一步，我们构造了Wq的量子群结构，得到了一个既非交换又非余交换的Hopf 代数.最后，我们研究了Wq的一维中心扩张fWq=WqLCc.结果表明，在q ! 1 时，fWq 就是Zhang-Dong 定义的原始的W(2；2)李代数.换言之，fWq 就是原始的W(2；2)李代数的量子形变.
　　 对Hom-李代数的研究，最初源于物理和李代数特别是向量场上李代数的量子形变的双重需要.其中典型的例子就是Witt 代数和Virasoro 代数的量子形变.
　　 但是，值得注意的是，Hom-李代数本身就是李代数的某种形变.我们介绍了一类新的代数结构：Hom-李color 代数.它既可以看作是李color 代数和Hom 李代数的推广，同时也可以看作是李代数的一种新的形变.我们研究了这个新的代数结构的同态关系.为了说明Hom-李color 代数的存在性，更重要地，说明这是一个更广泛的代数类，我们给出三种构造新的Hom-李color 代数的途径,分别是利用Hom-color 代数，带有偶自同态的李color 代数以及Hom-李color 代数的?-扭，并给出了一些有趣并且有用的例子.最后，我们把Hom-李容许代数推广到Hom-李容许color 代数，并利用G-Hom-结合的color 代数对它们进行了具体的刻画，其中G是对称群S3的任意子群.

目录

文摘

英文文摘

论文说明:关于编号和符号的说明

声明

第1章引言

第2章扩张的Schr(o)dinger-Virasoro 代数的李双代数

第3章Schr(o)dinger-Virasoro代数的量子化

第4章W(2,2)李代数的量子形变

第5章Hom-李color代数的结构

参考文献

后记

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果