高维稀疏成对比较数据中的Bradley-Terry模型

摘要

本文的目的是研究高维稀疏成对比较数据中Bradley-Terry模型里极大似然估计的渐近理论。当Bradley-Terry模型里参数个数固定而且每两两成对比较次数趋于无穷时，极大似然估计的渐近性质可由标准的大样本理论获得。尽管如此，在大多数应用中，参与成对比较的个体非常多而且每两两成对比较次数较小甚至是稀疏的。例如考虑美式足球联盟赛(NationalFootballLeague(NFL))。其由32个队组成。这32个队被分成8个区域，每个区域包括4个队。在常规赛中，每个队只参与了16场比赛，其中6场区域之内的，10场区域之间的。在这种设计下，成对比较仅仅存在于32×13/2=208个配对，而所有可能的配对则有32×31/2=496个。因此考虑在这种情形下的渐近理论更加符合实际情况。本文的主要贡献如下：通过控制在由设计阵构成的无向图里由一个个体到另外一个个体的路径长度，提出了成对比较中的稀疏条件，在提出的稀疏条件下，证明了极大似然估计的一致相合性和渐近正态性以及揭示了Bradley-Terry模型里的高维Wilks现象。此外，本文提供了证实理论结果的广泛的模拟研究和实际数据例子。