典型多体模型的精确求解与数值计算

摘要

可精确求解的量子多体模型是人们研究量子多体问题以及利用数值方法近似求解许多复杂实际问题的基础，虽然经过了一百多年的发展，但是可以精确求解的量子多体模型依然很少。最主要的原因是量子多体问题中存在着相互耦合，使得精确求解它们变得非常困难。因此采取一定的方法将其去耦合，成为使问题得以解决的关键。人们经常采用的方法有:坐标变换、二次量子化、以及直接利用数学物理方法或归纳演绎手段猜测构造波函数的形式再加以证明等。甚至对待同一个问题，人们有时需要联合几种方法，才可以求解出问题。
　　 在本论文中，我们主要研究了两个具有相互作用的量子多体模型的解及其基态的一些性质。它们分别是:一维周期外磁场中的磁化硬核玻色子(TG)气体模型和平方对势多体系统模型。本论文的主要内容安排如下:
　　 第一章，简要介绍了量子多体问题的历史发展及现状，然后引出我们要研究的内容。
　　 第二章，前两节我们首先从著名的玻色费米对应原理出发，给出硬核玻色子系统的一般求解过程，简要介绍了几个相关的TG气体模型和其主要的结论。后面我们接着介绍了前人处理平方对势系统问题的方法和取得的成果。在最后一节，我们还给出了一些大家比较关心的物理量的定义。
　　 第三章，我们研究了一维周期外磁场中的磁化硬核玻色子气体。通过对TG气体的研究，我们得到，当组成系统的粒子数目和外磁场的周期数目相等时，有周期外磁场存在时的系统比没有外磁场时更加容易制备基态;TG气体在不反应自身关联的物理量上的表现和相应的无自旋费米系统完全一样，无法分辨，但是在反应自身关联的物理量上两者完全不同，TG气体表现出了玻色系统应该具有的凝聚性质。因此从这个意义上说，自身关联是比粒子之间的关联更为基本的，更能反应关联的物理本质。另外，根据TG气体是一种特殊的玻色系统这一特点，我们还研究了只在玻色系统中才会出现的玻色爱因斯坦凝聚(BEC)在此TG气体模型中的表现，得到了能够判断是否发生BEC的三个物理量之间的关系式，进而推导出已知的三个判断系统是否发生BEC的判据。通过这三个关系式我们重现了一维TG系统不存在BEC的结论。最后，我们又将三个公式的应用范围推广到整个一维周期势中的玻色系统。
　　 第四章，我们求解并得到了平方对势系统的能谱和本征函数。首先我们根据大量的计算结果总结出一条规律:当由前N-1个粒子（即前N-2个准粒子）组成的子系统处于基态时，只改变最后一个量子数nN-1就可以得到全同粒子系统的所有本征态。利用这条规律，我们用数学归纳法得到了一维情形下全同粒子体系基态的波函数，进而求得系统的能谱和所有激发态的精确波函数。我们发现所有能级都是非简并的，而且原本应该存在的第一激发态能级因为对称性或反对称性消失了。由于高维情形过于复杂，我们只是通过归纳法得到了能谱和费米系统基态的精确波函数和简并度（玻色系统的精确解比较平庸，不用计算也能知道它的解）。另外，我们简单计算了平方对势系统的尺度范围、对关联函数。其中此系统在三维情形、能级差为伽马光子的能量量级，系统的尺度范围和原子核的大小吻合。
　　 最后我们给出论文的一些总结和展望。

目录

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摘要

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主要符号对照表

第一章 绪论

第二章 TG气体模型和平方对势系统简介

2．1 TG气体概论

2．2 几个简单的一维TG气体模型

2．2．1 一维无外势TG气体

2．2．2 一维谐振子势阱中的硬核玻色子系统

2．2．3 一维周期Kronig-Penney势外场下的硬核玻色子系统

2．3 平方对势系统

2．3．1 一维平方对势系统

2．3．2 Calogero-Sutherland模型

2．3．3 Khare模型

2．4 部分重要的物理量

第三章 一维周期外磁场中的磁化硬核玻色子气体

3．1 定态薛定谔方程的一般解

3．2 玻色系统、费米系统与TG系统的关系

3．2．1 能谱与总动量

3．2．2 单粒子密度与对关联函数

3．2．3 约化单粒子密度矩阵与动量配分函数

3．3 约化单粒子密度矩阵的计算方法

3．4 一维周期势中的TG系统的一般性质

3．4．1 约化单粒子密度矩阵

3．4．2 非对角元长程序

3．4．3 本征轨道和占据数

3．4．4 动量配分函数

3．5 一维周期势中的玻色系统与BEC

3．6 小结

第四章 N体平方对势系统的精确解

4．1 N体平方对势系统的由来及其意义

4．2 一维N体平方对势系统的求解过程

4．2．1 非全同粒子系统的求解过程

4．2．2 全同粒子体系的求解过程

4．3 任意D维N体平方对势系统的基态能量及波函数

4．4 N体平方对势系统的基态性质

4．4．1 系统的尺度

4．4．2 对关联函数

4．5 小结

第五章 总结和展望

参考文献

附录A Sλ的计算过程

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果