混合自旋Ising模型在缀饰Bethe晶格上的严格求解与数值计算

摘要

在统计物理学中，统计模型的建立对相变的研究起着非常重要的作用，它既是实际情况的简化，又包含了实际问题的本质特征。在建立简化模型后，通过对其配分函数求偏导数可以得到系统的热力学函数，并严格导出其在相变点的宏观特性，进而确定系统的全部平衡性质。而Ising模型就是其中一个最简单的单轴离散自旋模型，尽管它的形式十分简单，但将其严格求解却十分困难，对于高维情形甚至只能给出数值结果。
　　在本论文中，我们主要讨论亚铁磁的混合自旋Ising模型在配位数为q的缀饰Bethe晶格上的求解问题，并给出系统在相变点的一些性质。特别地，对于含有q种缀饰自旋的系统，我们得出了临界温度和磁矩的一般性结论。其主要内容与结论如下:
　　第一章简要介绍了相变及其分类，并对Ising模型的平均场近似和一维情形的严格求解过程作了简要回顾。
　　第二章主要描述单一自旋Ising模型在Bethe晶格上的严格求解问题，给出了系统的临界温度和磁矩。
　　第三章主要讨论混合自旋Ising模型在缀饰Bethe晶格上的严格求解过程。本章的三节分别求解了只含有一种缀饰自旋和含有两种缀饰自旋以及含有q种缀饰自旋的系统后，发现前两种系统是后者的特殊情况，并获得三种不同系统的临界温度和磁矩的表达式。对于前两种情况，数值计算后，从图上发现一些有趣的新现象，例如，多个临界温度和临界温度的非单调性。第三节中对于含有q种缀饰自旋的系统，由于参数太多，在这里只给出了简要的图形描述和讨论。
　　最后是本文的总结和展望。

目录

声明

摘要

主要符号对照表

第一章 相变与Ising模型简介

1．1 相变与相变分类

1．2 Ising模型的平均场近似

1．2．1 Bragg-Williams近似

1．2．2 Bethe-Peierls近似

1．3 Ising模型的严格求解

1．4 本章小结

第二章 单一自旋Ising模型在Bethe晶格上的求解

2．1 Ising模型在Bethe晶格上的求解

2．2 BCM在Bethe晶格上的求解

2．3 本章小结

第三章 混合自旋Ising模型在缀饰Bethe晶格上的严格求解

3．1 只含有一种缀饰自旋的Bethe晶格

3．2 含有两种缀饰自旋的Bethe晶格

3．2．1 模型与理论推导

3．2．2 数值结果与讨论

3．3 含有多种缀饰自旋的Bethe晶格

3．3．1 模型与理论推导

3．3．2 数值结果与讨论

3．4 本章小结

第四章 总结与展望

参考文献

附录

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果