随机加权和与次序统计量的二阶正则变差性质

摘要

二阶正则变差(2RV)是正则变差(RV)的精致化，应用于应用概率、统计、风险管理、电信网络和其它领域.2RV理论为研究极值的收敛速度和稳定分布，刻画Hill估计的渐近正态性，和建立基于极值风险分位数的风险度量和风险浓度的二阶渐近性等问题提供了很好的理论平台.
　　 随机加权和∑ni=1θiXi在保险，金融和风险管理中经常出现.一个著名的例子是在风险理论中常把权重看作折现因子，而{Xi，1≤ i≤n}看作保险公司的净损失.若一个投资组合包含n个在一定时期内可能违约的负债人，Xi可以解释为第i个负债人违约造成的损失，而θi可认为是违约指数，通常是一个Bernoulli变量.
　　 由于重尾分布的重要性，在{X1,…，Xn}和{θ1,…，θn}满足适当条件下，对∑ni=1θiXi尾概率的一阶渐近已经有了若干研究.这篇论文的第一部分工作是研究随机加权和∑ni=1θiXi的2RV封闭性.我们首先证明了通常的部分和∑ni=1Xi保持2RV性质，其中X1，…，Xn是独立的2RV随机变量，可能具有不同的二阶参数.其次，考虑了随机加权和∑ni=1θiXi，其中X1,…，Xn假设为iid的2RV随机变量，且θ1，…，θn是非负独立的随机变量，独立于X1，…，Xn并且满足适当的矩条件.最后，我们在n=2时将上述结果推广到相依情形.此时，随机加权和θ1X1+θ2X2保持2RV性质，其中X1独立于X2，且(θ1，θ2)独立于(X1，X2)，但对(θ1，θ2)的相依结构没有作任何假定.
　　 在论文的第二部分，我们研究了次序统计量和两次序统计量之差的2RV封闭性.假设样本是非负iid的2RV随机变量，可以看出次序统计量和两次序统计量之差均保持2RV性质.
　　 本文所得的结果加强和弥补了文献Barbe&McCormick(2005)，Mao&Hu(2012)，Geluk et al.(1997)和Lv et al.(2012)中的有关工作.