量子系统的状态控制及相干保持

摘要

随着量子技术的进步以及控制科学的研究伸展到微观世界领域，逐渐形成量子控制这一新兴学科方向。而量子系统的状态控制和相干性保持是量子控制的重要研究方向。因此本论文重点研究了基于李雅普诺夫理论和最优控制技术的状态转移控制问题和量子系统的相干性保持问题。具体内容包含以下几个方面:
　　 1、研究基于李亚普洛夫理论的量子系统的状态控制。首先在一个双自旋系统中实现纠缠态的制备:针对双自旋系统Heisenberg相互作用模型，建立了其在相互作用绘景下的数学模型，选取观测算符平均值作为李雅普诺夫函数来设计控制律，并且通过设计这个观测算符保证目标态是李雅普诺夫稳定，在此基础上证明了4个Bell态都是全局渐近稳定的;其次，针对单量子比特系统的混合态纯化，引入一个辅助系统，它与原系统的相互作用强度通过李雅普诺夫方法设计，从而实现原量子系统状态的非幺正演化，将混合态纯化为本征态;最后，研究了开放量子系统的状态控制:选择观测算符平均值为李雅普诺夫函数，在相互作用绘景下设计控制律将系统驱动到无退相干子空间中的纯态，利用Barbalat引理分析系统的正极限集，给出了一个使得正极限集只包含目标态的观测算符的充分条件，在这个条件下，证明了所设计控制律可以将系统驱动到无退相干子空间中的任意纯态，并且给出了一种基于Schmidt正交化来设计观测算符的步骤。
　　 2、在量子控制图景的框架下研究了量子状态转移概率的最优控制问题。对于Lindblad方程描述的n能级开放量子系统，引入密度矩阵相干向量表示，将主方程模型转化为实向量空间上的双线性受控方程。在此基础上定义了量子状态转移概率作为最优控制目标，它是关于控制函数的泛函，被称为量子控制图景。针对量子控制图景在控制函数空间的临界点，给出了基于D-morph算法的数值研究方法。对于一个二能级系统，研究了对应于Bloch球上北极点到球面上的某一个目标态的转移概率的量子控制图景，理论上证明了这个控制图景不存在控制函数满足临界点条件，并且利用数值方法证明了存在最优的终端时间使得其对应的转移概率达到最大值，在最优终端时间的每一个最优控制都包含短脉冲，这个现象与相应的封闭量子系统中没有限制的时间最优控制问题类似。
　　 3、研究了Markov退相干环境下的高维量子系统的相干性保持。对于一个Λ型的三能级原子，以激发态和一个基态间的相干性作为被控目标，通过设计控制参数，使得相干性保持不变。针对可能出现的控制场的奇异性问题，定性地分析了不同系统参数对塌缩时间的影响。对于一个耗散系数远大于另外一个的情况，得到了使得相干性可以保持长久的初始态所在的区域，对于两个耗散系数可比的析;对于一个n能级的阶梯型的原子，相干性由多个相干性函数来具体表达。为了设计控制场使得相干性保持常数，控制场分量的数量与相干性函数相同，并且每个分量对应一个相干性函数。此外分析了影响奇异点的参数，并且给出了可能的提高相干时间的方法。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 量子系统控制概览

1．1．1 量子控制早期发展

1．1．2 量子系统控制理论的发展及研究现状

1．2 论文研究的背景意义

1．2．1 基于李雅普诺夫理论的量子控制的现状

1．2．2 量子控制landscape的提出与发展

1．2．3 开放量子系统退相干控制方法的研究现状

1．3 本论文的主要工作、创新点以及内容结构

1．3．1 本论文的主要工作

1．3．2 本论文的创新点

1．3．3 本论文的内容结构

第2章 背景知识介绍

2．1 量子力学基础

2．1．1 量子态与状态空间

2．1．2 物理量和算符

2．1．3 量子态演化方程

2．1．4 多体系统及纠缠态

2．2 数学知识准备

2．2．1 量子系统演化方程的图景变换

2．2．2 直积与部分积运算

2．3 开放量子系统

2．3．1 主方程模型

2．3．2 量子退相干基本模式

2．3．3 开放量子系统的无退相干子空间

2．4 量子控制图景及其控制临界点

第3章 基于李雅普诺夫理论的状态控制

3．1 双自旋系统中纠缠态的制备

3．1．1 双自旋系统的相互作用绘景模型

3．1．2 基于观测算符平均值的李雅普诺夫控制律设计

3．1．3 Bell态的收敛性证明

3．1．4 数值仿真及其结果分析

3．2 二能级系统中混合态的纯化

3．2．1 引入辅助系统的纯化方法

3．2．2 基于状态间距离的李雅普诺夫控制律设计

3．3．3 数值仿真和结果对比

3．3 基于无退相干子空间的状态转移及其收敛性分析

3．3．1 Lindbald主方程及无退相干子空间

3．3．2 基于观测算符平均值的李雅普诺夫控制律设计

3．3．3 观测算符P的构造及收敛性分析

3．3．4 数值验证及讨论

3．4 小结

第4章 基于最优控制技术的量子状态转移

4．1 n能级开放量子系统的状态转移控制图景

4．1．1 n能级开放量子系统模型

4．1．2 状态转移控制图景及其控制临界点

4．1．3 DMORPH算法

4．2 二能级系统状态转移控制图景

4．2．1 二能级系统的Bloch矢量表示及控制临界点分析

4．2．2 D-MORPH算法探索控制图景及最优控制时间

4．3 小结

第5章 量子系统的相干性保持

5．1 单比特精确解耦策略

5．2 三能级原子的相干性保持

5．2．1 三能级Λ型原子模型与控制目标

5．2．2 控制场的设计及其对纯度变化的影响

5．2．3 奇异性问题的分析

5．2．4 数值仿真与讨论

5．3 N能级原子的相干性保持

5．3．1 N能级([I])原子模型与相干性函数

5．3．2 控制变量的设计及奇异性问题分析

5．3．3 数值仿真结果及分析

5．4 小结

第6章 总结与展望

6．1 论文主要研究工作总结

6．2 论文的主要研究成果

6．3 研究展望

参考文献

附录1 旋转波近似下的HC的导出

附录2 引理3．2的证明

致谢

攻读博士学位期间完成的研究论文