Clifford分析中几类函数的性质及其相关问题研究

摘要

在H.Grassmann代数的基础上，W.K.Clifford推广了“四元数”的概念，创建了一种可结合不可交换的代数结构，称之为Clifford代数.实（或复）Clifford分析主要研究定义在实（或复）欧氏空间上取值于实（或复）Clifford代数空间中函数的性质及其相关理论.
　　设Cln+1，0(R)(或Cln+1，0(C))是由{e0，e1，…，en}生成的2n+1维实（或复）Clifford代数空间，e(0)=1是其单位元，且elej+ejel=2δlj（l，j=0，1，…，n），其中δlj是Kronecker符号.设Cl0，n(C))是由{e1，e2，…，en}生成的2n维复Clifford代数空间，e(0)=1是其单位元，且elej+ejel=-2δlj（l，j=1，2，…，n）.
　　本文首先研究了定义在Rn+1上取值于Cln+1，0(R)中的k-hypergenic函数与Clifford M(o)bius变换复合后函数的性质以及hypergenic拟-Cauchy型积分的边界性质和对偶的hypergenic函数的Cauchy积分公式;其次，研究了定义在Cn+1上取值于Cln+1，0(C)中的复k-hypergenic函数的几种等价刻画和Cauchy积分定理以及复k-hypergenic函数与复k-hypergenic调和函数的关系;最后，研究了定义在Cn+1上取值于Cl0，n(C)中的复k-超单演函数的等价刻画和Cauchy积分定理以及复k-超单演函数与复k-双曲调和函数的关系.
　　第一章简要介绍本文的研究背景和研究现状，给出重要的定义与符号，并且列出本文的主要结果.
　　第二章首先研究了Cln+1，0(R)中的Clifford M(o)bius变换，得到了与CliffordM(o)bius变换相关的几个重要定理，并且证明了一个k-hypergenic函数与CliffordM(o)bius变换的复合可以得到一个加权的k-hypergenic函数;其次，借助于hyper-genic函数的Cauchy积分公式得到了hypergenic拟-Cauchy型积分的Plemelj公式，再利用Plemelj公式证明了hypergenic拟-Cauchy型积分的Privalov定理;最后，给出了对偶的hypergenic函数的Cauchy积分公式，利用其证明了（1-n）-hypergenic函数的Cauchy积分公式，并且讨论了对偶的hypergenic函数的Cauchy积分公式中右端积分的性质.
　　第三章首先研究了复k-hypergenic函数的几种等价刻画;其次，利用Stokes-Green定理证明了复k-hypergenic函数的Cauchy积分定理，在此基础上给出了复k-hypergenic调和函数的Cauchy积分定理;最后，讨论了复k-hypergenic函数与复k-hypergenic调和函数的关系.
　　第四章首先研究了复k-超单演函数的一种与Cauchy-Riemann方程类似的等价刻画，虽然复k-超单演函数的乘积未必是复k-超单演函数，但是利用上述定理可以得到与复k-超单演函数的乘积相关的几个重要定理;其次，利用Stokes-Green定理证明了复k-超单演函数的Cauchy积分定理，在此基础上给出了复k-双曲调和函数的Cauchy积分定理;最后，讨论了复k-超单演函数与复k-双曲调和函数的关系.
　　本文的研究工作进一步丰富和完善了Clifford分析中的函数理论，深化了人们对Clifford分析的认识，在理论上和实际中都有一定的意义.