适合于分析和建模的若干样条的研究

摘要

伴随着NURBS技术的成熟，计算机辅助几何设计走过了其辉煌的二十世纪下半叶。进入二十一世纪，随着3D数字获取技术的不断成熟，几何模型逐渐变得复杂，传统的NURBS造型技术面临着挑战。主要原因是NURBS的控制顶点必须拓扑地位于一个矩形网格上，从而导致大量冗余控制点的出现，同时也难以做到局部加细。2003年，Sederberg等人提出了T样条的概念，通过T型控制点的引入克服了NURBS的缺陷。然而T样条的混合函数(blending functions)不一定具有线性无关性并且局部加细时加细单元无限制地扩展。这就促使人们开始寻找一种更加适合于分析和建模的可局部加细的样条。
　　本文第二章、第三章和第四章就是结合这种背景，从几何和分析对样条的需求出发，展开了一系列有关局部可加细且适用于几何和分析的样条的研究，包括任意T网格上样条的构造和其他特殊三角剖分上的层次样条的推广。特别是对于一些规则三角剖分上的样条，如Ⅰ-型剖分和Ⅱ-型剖分这两类贯穿剖分上的样条以及更广意义上的箱样条，都具有很好的性质，也被应用于许多领域。本文第三、四章先将最自然的局部加细方式—层次样条—的模式推广到了这两类三角剖分上的样条及其箱样条，我们将其应用于曲面拟合和椭圆偏微分方程的求解中，得到了比较好的结果。
　　曲线是计算机辅助几何设计最基本的研究的对象，曲线的拟合的重要性自不待言。随着样条的出现和发展，样条自然也就成为了曲线拟合的一个重要的工具。早期的样条拟合方法也开始将节点位置及控制顶点作为自由变量，不过节点的个数总是被事先指定。近年来随着压缩感知的稀疏理论的发展，稀疏优化模型开始应用到样条拟合中，并将节点的个数和节点的位置同时优化。但是得到的节点还是会有冗余。尽管有些策略如迭代、有选择的删除可以去掉一些多余的节点，但并没有从根本上解决此问题。本文第五章给出了一种计算样条拟合中节点的新方法，该方法从根本上解决了冗余节点的问题，即如果数据点是从一个样条采样得到的，且初始采样点足够多的话，给定样条的节点可以在一定的误差范围内恢复出来。