有限差分WENO格式另一种公式的研究和随机游走模型的数值模拟

摘要

本文主要研究了高阶有限差分加权本质无震荡格式（即WENO格式）的另外一种构造公式和生物中随机游走模型的数值模拟。本研究分为两个部分：
　　第一部分针对双曲守恒律方程的解进行高阶WENO插值，从而构造了守恒型数值流通量。与基于流函数重构的传统有限差分WENO格式相比，我们的格式有如下几个优点。第一个优点是对于标量方程可以使用任意的单调数值流通量，对于方程组可以使用任意的黎曼解。而传统的有限差分WENO格式为了满足非线性稳定性和高阶精度，在WENO重构过程中必须使用光滑的流分裂，因此，不是所有的单调数值流通量或者黎曼解都适用。第二个优点是与Lax-Wendroff时间离散相结合的时候，我们的格式与基于重构的传统有限差分WENO格式相比，会使用较窄的有效模板。我们细述了空间五阶，时间四阶的格式的构造，显示我们的格式需要的模板与半离散格式的模板一致。数值实验验证，这种构造方法不仅可以在光滑区域得到高阶精度，在间断区域也保持稳定、本质无震荡性质和陡峭的间断过渡等。在使用相同的网格时，传统有限差分WENO格式产生的误差比我们的格式大，这说明使用较窄的有效模板和自由选取单调流通量可以有效减小误差。第三个优点是在曲线网格上可以准确保证自由流条件，而传统的有限差分WENO格式很难满足这一性质。理论分析和数值结果都说明，基于一种对度量项的数值处理方法，我们的格式在静态曲线网格和动态曲线网格上均可以保证自由流条件和涡条件。然而，这种处理度量项的方法却很难应用在传统有限差分WENO格式中。
　　第二部分是对生物中的随机游走模型进行数值研究。这是一个半线性双曲方程组，描述在适当环境中生物或细胞密度随时间的变化，从而反映它们的集体运动行为。在模型假设中，生物或细胞有固定的运动速度，而它们的运动方向受相邻个体影响。在这个模型中，我们考虑生物体之间吸引、排斥和列队三种作用。由于这个模型的解在生物意义上是种群密度，所以它具有保正性质。针对这一模型，我们使用Runge-Kutta有限差分WENO格式进行数值模拟。因为模型的解为非负的，所以我们在格式中加入了一种保正算子，这种算子在不影响格式精度的前提下满足数值解的保正性质。我们给出理论证明，说明当我们在三阶TVD Runge-Kutta时间离散结合三阶有限差分格式来求解这一模型时，保正算子仍能保持时间/空间上的三阶精度。数值算例证明对于五阶格式，保正算子同样可以保持五阶精度。

目录

声明

摘要

表格索引

插图索引

第一章 绪论

1．1 双曲守恒律方程

1．2 数值格式

1．3 加权本质无震荡WENO方法

1．3．1 有限体积WENO格式

1．3．2 有限差分WENO格式

1．3．3 一维方程组

1．3．4 多维守恒律方程

1．4 时间离散

1．5 本章小结及文章安排

第二章 另外一种有限差分WENO方法

2．1 本章引言

2．2 数值流通量的构造方法

2．3 与Lax-Wendroff时间离散结合

2．3．1 一维标量方程

2．3．2 一维方程组

2．3．3 二维问题

2．3．4 数值算例

2．4 曲线网格上的Euler方程

2．4．1 三维欧拉方程

2．4．2 数值格式

2．4．3 SCL条件和VCL条件

2．4．4 数值算例

2．5 本章小结

第三章 随机游走模型

3．1 本章引言

3．2 随机游走模型

3．3 数值格式及保正算子

3．3．1 源项的保正算子

3．3．2 数值流通量的保正算子

3．4 数值算例

3．5 本章小结

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果