椭圆曲线的二次扭系列

摘要

本文研究了几类椭圆曲线的二次扭系列.具体来说，研究了同余数曲线的二次扭系列，并构造了一系列秩零的二次扭;研究了函数域上椭圆曲线的二次扭系列，并构造了一系列秩一的二次扭.
　　在第一章中，我们回顾了BSD猜想和同余数的历史和进展，并陈述了我们的主要结果.
　　在第二章中，我们回顾了椭圆曲线的基本理论和本文需要使用的主要概念.
　　在第三章中我们给出了三个不同系列的非同余数的一个充分性判断条件.前三节我们介绍了同余数的概念，并引入了基本的记号，陈述了主要结论，介绍了证明策略和方法.我们的主要策略是对同余椭圆曲线次数为2的同源的Selmer像的大小进行估计，以此来保证弱Mordell-Weil群达到极小.这种做法可以在弱Mordell-Weil群达到极小的情形下，得到Tate-Shafarevich群2部分不平凡的同余椭圆曲线.4-7节对Selmer群进行了具体的计算和判断，并在最后一节完成了主要结论的证明.
　　在第四章中，我们首先简单介绍了函数域上椭圆曲线的模性和模曲线，给出了数域情形的Birch引理在函数域上的类比.通过研究椭圆曲线上Heegner点上的作用，导出了Heegner点的无挠性，并得到了一系列秩一的椭圆曲线.
　　我们在论文最后给了一点展望.

目录

声明

摘要

常用记号

第一章 绪论

1．1 研究背景

1．1．1 椭圆曲线和BSD猜想

1．1．2 同余数

1．2 主要结果

1．3 证明策略

第二章 椭圆曲线的一般理论

2．1 Weierstrass方程

2．2 群结构

2．3 同源

2．4 二次扭

2．5 Mordell定理

2．6 Selmer群和Tate-Shafarevich群

2．7 齐性空间

2．8 约化和L函数

2．9 导子

2．10 Drinfeld模

2．11 模性

2．11．1 F=Q

2．11．2 F为函数域

2．12 BSD猜想

2．12．1 数域情形

2．12．2 函数域情形

第三章 2下降法与非同余数

3．1 同余数

3．2 记号和结论

3．3 2下降法

3．4 同余椭圆曲线情形

3．5 Selmer群Sel(φ)和Sel(φ)

3．6 Selmer群的像(Sel)(φ)和(Sel)(φ)

3．7 估计(Sel)(φ)

3．8 主定理的证明

第四章 函数域上的Birch引理

4．1 记号和结论

4．2 Heegner点和Atkin-Lehner算子

4．3 欧拉系

第五章 展望

5．1 同余数问题

5．2 二次扭系列

5．3 更一般的表示

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果