带自由边界KPP型扩散方程在时间几乎周期介质中的传播现象

摘要

本博士论文研究带自由边界KPP型扩散方程在时间几乎周期介质中解的传播现象。具体来说，我们回顾并探讨了KPP型扩散方程在时间几乎周期介质中解的渐近动力学行为，研究了带自由边界KPP型扩散方程的全局解在时间几乎周期空间非均匀环境中的传播与消亡二分性，进一步证明了在空间均匀环境中传播发生时传播速度由时间几乎周期半波解唯一所决定。
　　论文的具体安排如下:
　　在第一章中，我们简要介绍了经典反应扩散方程及其生态学应用，回顾了自由边界问题的研究现状，总结了本文的研究结果。
　　在第二章中，我们介绍了几乎周期函数、主李雅普诺夫指数、半度量的基本定义和基本性质，回顾了自由边界问题的比较原理以及零点数性质。
　　在第三章中，我们回顾并探讨了KPP型扩散方程在时间几乎周期空间非均匀环境中解的渐近动力学行为。首先对于有界区域上的情形，在其线性化方程主李雅普诺夫指数存在的假设下，我们回顾了几乎周期正解的存在，唯一及稳定性理论。基于该方面的结论，我们探讨了无界区域上该方程几乎周期正解的存在稳定性等相关结论。
　　在第四章中，我们考察带自由边界KPP型扩散方程的全局解在时间几乎周期空间非均匀环境中的传播与消亡二分现象。具体来说，以扩张前沿和扩张能力为参数，我们得到了判断传播与消亡的充分条件。
　　在第五章中，特别地，我们考虑在时间几乎周期空间均匀环境中传播发生时，几乎周期半波解的存在、唯一及稳定性理论，进一步指出了自由边界问题的传播速度与相应波速一致。具体来说，首先，我们讨论了无界区域上带自由边界的KPP方程可以等价转化为无界区域上的固定边界的KPP方程，对这两类方程利用零点数方法和半度量工具给出了一些基本性质。进一步，我们证明了几乎周期正解的存在及稳定性，由等价性从而得到了几乎周期半波解的存在，唯一及稳定性。其次，我们证明了该自由边界问题的传播速度由半波解唯一决定。最后，对于双边自由边界问题我们通过类似的证明方法得到了同样的结论。

目录

声明

摘要

常用记号

第一章 绪论

1．1 背景介绍

1．2 本文研究的问题和结果

1．2．1 KPP型扩散方程在时间几乎周期环境中的定性研究

1．2．2 带自由边界KPP型扩散方程在时间几乎周期介质中的传播现象

第二章 Preliminary

2．1 Almost periodic functions

2．2 Principal Lyapunov exponent

2．3 Part metric associated to diffusive KPP equations

2．4 Comparison principal for free boundary problems

2．5 Zero number Properties

第三章Asymptotic dynamics of diffusive KPP equations with time almost periodic

3．1 Fixed bounded domain

3．2 Proof of Theorem 1．2．1

第四章 Spreading-Vanishing dichotomy in diffusive KPP eouations with a tree boundary

4．1 Proof of Theorem 1．2．4

4．2 Double fronts free boundary

第五章 Spreading speeds and Semi-wave solutions

5．1 Basic properties of diffusive KPP equations

5．1．1 Basic properties of diffusive KPP equations in unbounded domains with a free boundary

5．1．2 Basic properties of diffusive KPP equations in fixed unbounded domains

5．2 Semi-wave solutions and Proof of Theorem 1．2．7

5．3 Spreading speeds and Proof of Theorem 1．2．8

5．4 Double fronts free boundary

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果