求解对流问题和对流占优扩散问题的值域离散网格方法

摘要

对流问题和对流占优扩散问题存在于诸多自然界与工程实际问题中。这类流动问题的主要特点是:流场内会存在物理量在很小空间尺度内发生剧烈变化的锋面，甚至激波;而在远离锋面或者激波的区域内物理量变化相对平缓。在求解这种存在多尺度结构的流场时，传统数值方法往往会遭遇很多困难:使用常规有限差分格式进行求解时可能会导致物理上不合理的数值震荡，甚至引起稳定性问题;工程上常用的一阶格式往往会在锋面或者激波处产生较大的数值耗散。为减小数值耗散，提高求解分辨率，锋面或者激波处的网格尺度必须足够细分。若采用全场均匀的细网格，则会耗费大量的计算资源，因此采用自适应网格是一种现实可行的方法。然而，传统的自适应网格法往往基于空间离散网格，通常需要复杂的自适应操作以及大量的网格重构过程，这在一定程度上增加了计算复杂度。因此，如何利用有限的计算资源准确模拟锋面或者激波的形态及其附近流场的变化仍然面临巨大的挑战。
　　本文注意到传统数值方法往往基于空间离散网格，在采用空间离散网格求解对流和对流占优问题时遇到困难的一种解释是:空间离散网格使用有限小的网格单元描述零宽度的激波或者接近零宽度的锋面。鉴于此，本文提出了一种新的离散网格系统——值域离散网格。顾名思义，与空间离散网格将流动问题的位域空间离散成若干网格节点不同，值域离散网格是通过将流动问题中物理量的值域空间离散化而得到的求解网格。本文发现，与均匀的空间离散网格相比，值域离散网格能够锐利地描述处于任意位置的间断，这对于求解存在激波的问题是重要的;另外，值域离散网格节点在锋面或激波处聚集，而在物理量变化较为平缓的区域内分布较为稀疏，这意味着，该网格具有与生俱来的自适应特性，有利于在消耗较少计算资源的前提下获得较高的求解精度。与传统自适应网格相比，值域离散网格具有简洁的数据结构;并且，相比于传统自适应网格法须在每个计算步进行网格重构以达到自适应的目的，值域离散网格的自适应过程是随着流动问题的求解而自动完成的。因此，如果将值域离散网格应用到对流问题和对流占优扩散问题的求解中，则有望获得一种计算速度快、计算精度高的数值方法。
　　基于值域离散网格的特点，在求解流动问题的过程中，并非求解空间离散点上的物理量值的变化，而是追踪具有已知离散物理量值的网格节点的运动。然而，在实施值域离散网格法的过程中需要解决一些复杂的数学物理问题。
　　首先，本文将值域离散网格应用到一维空间中可能会产生激波的对流问题的求解中。由于值域离散网格所描述的激波强度只能是离散的，如果采用Rankine-Hugonoit激波关系计算离散激波的运动速度，那么可能会导致守恒性问题。为了解决这一问题，本文通过守恒关系推导出了修正的Rankine-Hugonoit公式。分析发现，利用该修正公式不但在求解过程中满足了守恒性要求，而且激波位置的求解能够达到二阶精度。另外，相邻网格节点可能会在求解过程中互相发生位置逾越而导致物理上不合理的多值性解。为了解决这一问题，本文设计了时间步长的选取规则，并引入了基于熵条件和守恒性的后处理步。如此，不但多值性问题得以避免，从而可以模拟出激波的产生、演化和衍灭等复杂过程;更重要的是，该方法的时间步长不受CFL条件的限制。
　　其次，本文提出了求解一维对流扩散问题的值域离散网格法。由于扩散项的存在，网格节点的推进速度不仅与当地物理量值有关，而且还与其周围物理量分布形态有关。如何确定网格节点的运动速度是将值域离散网格应用到求解对流扩散问题的关键。本文基于值域离散网格建立了在值域空间内固定，而在位域空间内动态变化的控制体;通过控制容积积分法得到了流动方程在值域离散网格上的守恒型离散格式。本文通过在极值点处设定的网格节点及其控制体，并利用抛物线线型逼近给出了离散格式的调整，从而将值域离散网格法推广到非单调问题的求解中。对于初始值中存在的常值分布段的流动问题，本文将常值分布的两端视作移动边界条件，并给出了移动边界的高精度处理方法。
　　本文将值域离散网格法推广到二维两相渗流问题的求解中。根据Buckley-Leverett理论，两相渗流问题的压力方程为类拉普拉斯方程，而饱和度方程为非线性双曲型方程。鉴于有限分析格式能够高效求解类拉普拉斯方程，而值域离散网格法能够零耗散地求解双曲型方程，本文将二者相结合，得到了一种求解速度快、精度高的顺序求解方法。本文将该方法应用到两相驱替问题的研究中，通过对比不同流度比下两相界面形态，探讨了粘性指进现象和网格取向效应的内在联系。
　　综上所述，本文针对采用值域离散网格法求解对流问题和对流占优扩散问题时所遇到的数学物理问题进行了初步的研究。设计并初步实现了求解这些流动问题的值域离散网格法，通过数值算例证实了值域离散网格法的可靠性和有效性，并利用所提数值方法研究了两相渗流问题中有趣的驱替现象。本文所提方法有望为对流问题和对流占优问题的研究提供一种快速的、精确的数值工具。

目录

声明

论文说明

摘要

图目录

第1章 绪论

1．1 对流和对流占优问题的数值求解

1．2 对流和对流占优问题的自适应网格法

1．3 多相渗流过程中的对流扩散问题

1．4 网格取向效应与粘性指进

1．5 本文研究工作

第2章 对流问题和对流占优扩散问题的理论基础

2．1 对流和对流占优问题的控制方程

2．2．1 特征线方法

2．2．2 激波的产生与运动

2．2．3 熵条件

2．2．4 Riemann问题的解

2．3 对流占优扩散问题的理论基础

2．3．1 极值的推进与演化

2．3．2 常数解与移动边界

2．4 本章小结

第3章 值域离散网格

3．1 值域离散网格的生成

3．1．1 存在常数分布的曲线的描述

3．1．2 存在间断的曲线的描述

3．1．3 非单调曲线的描述

3．1．4 高维空间中的值域离散网格

3．2 值域离散网格的性质

3．3 本章小结

第4章 求解一维对流问题的值域离散网格法

4．1 守匣性插值公式

4．2 基于值域离散网格的数值算法

4．2．1 推进步

4．2．2 时间步长的确定

4．2．3 后处理步

4．2．4 数值算法示例

4．2．5 边界条件

4．3 值域离散网格法的性质

4．3．1 计算资源消耗

4．3．2 TVD

4．3．3 质量守恒

4．3．4 误差分析

4．4 值域离散网格法的数值示例

4．4．1 Burgers方程

4．4．2 Buckley-Leverett方程

4．4．3 交通流问题

4．5 本章小结

第5章 求解一维对流占优扩散问题的值域离散网格法

5．1 基于值域离散网格的数值方法

5．1．1 动态控制体

5．1．2 控制方程的离散

5．1．3 极值点附近的调整

5．1．4 边界条件

5．2 值域离散网格法的数值示例

5．2．1 行波解

5．2．2 非单调解

5．2．3 非线性的扩散项

5．2．4 Buckley-Leverett方程

5．3 本章小结

第6章 值域离散网格法在二维两相驱替问题中的应用

6．1 两相驱替问题的控制方程

6．1．1 两相流动中的不稳定现象

6．1．2 两相流动问题的有限差分法

6．2 值域离散网格法的应用

6．2．1 饱和度场的求解

6．2．2 压力场的求解——有限分析格式

6．2．3 压力场的求解——幂律型级数解

6．2．4 速度场的求解

6．2．5 饱和度场与压力场的耦合

6．3 油水两相驱替的算例研究

6．3．1 准一维流动

6．3．2 五点井网问题

6．3．3 粘性指进现象

6．3．4 网格取向效应

6．4 本章小结

第7章 总结与展望

7．1 全文总结

7．2 本文工作创新点

7．3 对未来工作的展望

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果