镜对称简介

摘要

本文是一篇介绍数学物理中镜对称的综述类文章。镜对称最初于1990年左右从弦论中提出，之后便引起了物理学家和数学家的关注，除了物理学家对其的应用外，数学家对猜想本身的具体刻画与证明产生了浓厚兴趣，并发展了代数和几何两大类研究方法，取得了不少进展。如今，镜对称已成为联系理论物理，辛几何，代数几何的最主要的交叉领域，也是数学物理中最富生机的领域之一。
　　本文从多个方面对镜对称进行介绍，以给读者对其初步的了解:
　　第一章，介绍镜对称的概况和发展历史，和相关学习资料。
　　第二章，简短介绍物理中sigma模型和其中一个镜对称的例子。
　　第三章，介绍1994年由Maxim Kontsevich建立使用代数方法的的同调镜对称[K]，它对镜对称数学方面的早期研究有很大的影响。
　　第四章，简短介绍1996年的由Strominger-Yau-Zaslow建立的用使用几何方法的SYZ镜对称[SYZ]，并给出T-对偶的一个例子。
　　第五章，介绍同调镜对称中Fakaya范畴所属的A∞-范畴的基本概念。
　　第六章，介绍根据同调镜对称发展出的带角辛流形的基本概念。

目录

声明

摘要

主要符号对照表

第一章 绪论

1．1 镜对称概述

1．2 论文结构与学习资料

第二章 sigma模型中的镜对称

2．1 sigma模型中的镜对称

2．2 附：量子修正

第三章 同调镜对称

3．1 同调镜对称简介

3．2 辛结构与复结构的比较

3．3 2维环面

3．4 5次3-流形

3．5 A∞-代数

3．4 三角范畴

3．7 Fukaya范畴

3．8 同调镜对称猜想

4．1 SYZ猜想简介

4．2 T-对偶

第五章 A∞-范畴

5．2 A∞-函子

5．3 自然变换

5．4 复合函子

5．5 长度滤过

5．6 同伦

第六章 带角辛流形

6．1 带角空间

6．2 带角流形

6．3 带角恰当辛流形

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果