张量网络算法从玻色子系统到费米子系统

摘要

量子强关联多体系统带来了一些在物理学中最令人兴奋的开放性问题。例如普遍认为Hubbard模型在高温超导中占有重要的角色;最近拓扑序，拓扑相吸引了广泛的兴趣。该领域的快速发展伴随着对相互作用的量子多体系统的理论认识的加深。
　　一个用来描述量子多体系统的最新方法，就是张量网络态的方法。该方法通过抓住问题的关键，系统的基态空间只是由一些弱纠缠态组成的空间，于是把一个指数增长的问题变成一个多项式增长的问题，从而使得模拟大规模的量子系统成为可能。
　　在本篇论文中，我们发展张量网络算法，并且利用张量网络算法研究了带阻挫隧穿作用的玻色Hubbard模型，主要完成了以下三方面的工作:
　　1.完成了一个完整的张量网络函数库，大大简化了张量网络算法的编程难度。
　　张量网络算法依赖大量的高维张量的运算，包括缩并，角标重排，张量变形，SVD分解等。不幸的是，目前用于科学计算的最流行的计算机语言（如Fortran和C/C++）都没有张量算法的标准库，因此编写张量网络算法的程序非常繁琐。我们开发了一个Fortran2003软件包，其中包含了面向张量网络算法的各种基本张量操作，适用于不同形式的张量网络算法。该软件包具有良好的用户友好性和灵活性，大大简化了张量网络算法的程序编写。我们基于该张量函数库开发了若干张量网络算法的程序。
　　2.把玻色子的PEPS张量网络推广到费米子系统，使得PEPS可以直接应用于费米系统。
　　费米子量子多体问题是凝聚态物理的核心问题。在没有完全可解的模型的情况下，精确的数值模拟对于理解强关联系统的性质是至关重要的。量子蒙特卡罗方法在模拟玻色系统方面非常强大，但当应用到费米子系统或者阻挫模型的时，它们会遇到所谓的“符号问题”而失效。张量网络方法，如PEPS，原则上是可以用来处理费米系统。我们发展了一个将玻色张量网络推广到费米张量网络的简便方法。
　　3.利用张量网络算法，研究了具有阻挫跃迂项的玻色Hubbard模型，发现了新的超固相。
　　利用张量网络方法，我们研究了二维正方形晶格中具有阻挫效应的次近邻跃迁项的Bose-Hubbard模型的基态，并给出相应的相图。在硬核极限下，次近邻跃迁项稳定了一种特殊的半超固相(half supersolid)(HSS)。该超固项包含两个子格子，其中一个子格子是超级流体，另一个Mott-Insulator。在软核的情况下，当粒子填充数大于半满时，该模型呈现了丰富的相图，包含三种不同类型的超固相。我们的研究提供了稳定超固态的一种新机制。

目录

声明

摘要

第1章 绪论

第2章 玻色的张量网络态(Tensor Network State)

2．1 矩阵直积态

2．1．1 valence bond state(VBS)定义的矩阵直积态

2．1．2 MPS的图表示

2．2 二维的张量网络：PEPS和SBS

2．2．1 PEPS的图表示

2．2．2 SBS

2．3 基态的优化方法

2．3．1 虚时间演化法

2．3．2 变分法

2．3．3 梯度法

2．4 张量的基本操作

2．4．1 张量的缩并

2．4．2 合并张量的脚(角标)

2．4．3 拆分张量的—条脚(角标)

2．4．4 交换张量的脚(角标)

第3章 张量网络的对称性

3．1 张量网络的全局的对称性

3．2 张量的对称性形式

3．3 U(1)对称性的对称张量

3．3．1 U(1)群理论回顾

3．3．2 U(1)对称态与算符

3．3．3 两个表示的直积空间

3．3．4 U(1)对称性的张量

3．3．5 U(1)对称性的张量的正则形式

3．3．6 U(1)对称性的张量的操作：交换角标

3．3．7 U(1)对称性的张量的操作：合并拆分角标

3．3．8 U(1)对称性的张量的操作：张量的乘法

3．3．9 U(1)对称性的张量的操作：张量的分解

3．4 Parity对称张量

3．4．1 Parity对称态以及算符

3．4．2 Parity两个表示的直积空间

3．4．3 Parity对称性的张量

3．4．4 Parity张量的正则形式

第4章 玻色化费米子的张量网络

4．1 费米子的张量网络处理方法：交换矩阵

4．1．1 费米的晶格系统

4．1．2 费米系统的对称性：Parity

4．1．3 费米化的规则

4．2 有效的玻色子张量网络

4．3 小节

第5章 费米的张量网络态

5．1 费米子张量以及费米子张量网络

5．1．1 定义

5．1．2 对称性

5．2 费米子张量网络的图表示

5．2．1 费米张量图表示

5．2．2 费米箭头：最大纠缠态

5．2．3 费米子张量网络的图表示

5．3 费米张量规则

5．3．1 费米张量角标重排(交换角标)

5．3．2 费米张量的缩并

5．3．3 费米张量的合并拆分

5．3．4 费米张量的分解

5．3．5 费米张量的厄米共轭

5．3．6 费米张量的正交性

5．3．7 费米张量的费米箭头反转

5．4 费米张量网络

5．4．1 蒙特卡罗方法和随机梯度法

5．5 算法测试

5．5．1 相互作用无自旋的费米子系统

5．5．2 自由无自旋费米子系统

5．5．3 t-J模型

5．5．4 Dc的对系统的依赖

第6章 基于张量网络的函数库TNSP

6．1 函数库的综述

6．2 PEPS代码例子

6．2．2 生成PEPS波函数

6．2．3 定义哈密顿量和演化算符

6．2．4 虚时间演化

第7章 在玻色Hubbard模型中由隧穿阻挫引起的独特的超固态

7．1 Hubbard模型

7．2 平均场分析

7．2．1 无阻挫相的结果

7．2．2 从HSS到SF和HSS的相分离

7．2．3 从SF态到HSS和SF混合的相分离

7．2．4 在软核极限下的超固态

7．3 张量网络算法分析

7．3．1 模型和方法

7．3．2 在硬核极限下数值结果

7．3．3 在硬核极限下的结构因子

7．3．4 软核情况下的SS相

7．3．5 实验方案

附录

参考文献

致谢

在读期间发表的学术论文与取得的研究成果