拓扑熵、零维动力学模型及万有实数流

摘要

本文研究拓扑动力系统中的熵与混沌、零维同构动力学模型、以及实数流及其嵌入，共分为六个章节。第一章是预备知识和准备工作，包含了拓扑动力系统和遍历论中的一些基本概念，以及在后续章节中需要用到的主要结果和工具。在第二章中，研究幂零群作用下的零熵系统和拓扑预见性的关系，证明了对幂零群作用下的动力系统而言，拓扑预见性蕴含零熵。在第三章中，研究平均proximal系统和平均Li-Yorke混沌，建立新的平均Li-Yorke混沌的判别方法，证明了如果一个拓扑动力系统是平均敏感的，而且可以找到一个传递点和一个周期点，使得它们是平均proximal的，那么这个动力系统一定是平均Li-Yorke混沌的。并且，对平均proximal系统进行等价刻画，证明了一个拓扑动力系统是平均proximal的当且只当它是平均asymptotic的。在第四章中，考虑amenable群作用下正熵系统中的平均Li-Yorke混沌，证明了对于双序顺从群作用下的拓扑动力系统而言，正熵同样蕴含着平均Li-Yorke混沌，并且给出其具体应用。在第五章中，研究零维同构动力学模型，以及Choquet单形上委派的实现问题，证明了如果一个非周期拓扑动力系统的全体遍历不变测度构成的空间是零维的而且是σ-紧的，那么这个系统的自然委派就可以被实现为一个零维动力系统。在第六章中，考虑实数流的嵌入问题，一方面加强经典的Bebutov-Kakutani嵌入定理，证明了一个实数流在动力学意义下可以嵌入Lipschitz函数空间当且只当它的不动点集在拓扑意义下可以嵌入单位区间，另一方面构造新的万有实数流。

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摘要

ABSTRACT

引言

Contents

Introduction

Chapter 1 Preliminaries

1．1 Notions and notations

1．2 Entropy

1．3 Orderable groups

1．4 Topological predictability

1．5 Proximality and chaos

1．6 Zero-dimensional dynamical systems

1．7 Real flows and embeddings

Chapter 2 Topological predictability and zero entropy

2．1 A theorem due to Rhemtulla and Formanek

2．2 Main theorem

2．3 Examples

Chapter 3 Mean proximality and mean Li-Yorke chaos

3．1 A new condition implying mean Li-Yorke chaos

3．2 Mean proximal systems are mean asymptotic

Chapter 4 Mean Li-Yorke chaos and positive entropy

4．1 Local terminologies

4．2 Main Theorem

4．3 Applications

Chapter 5 Zero-dimensional isomorphic dynamical models

5．1 Statement of the main result

5．2 A special case

5．3 Proof of the main result

Chapter 6 Embeddings of real flows

6．1 Topological preparations

6．2 Refinement of the Bebutov-Kakutani theorem

6．3 An explicit universal flow

Bibliography

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